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Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune

Posté par
MoutonRose 02-03-14 à 16:41

Voici l'énoncé :
Soit f et g deux fonctions définies sur R par f(x)= x2/2 et g(x)=4/x.
Soient Cf et Cg leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal (O;I;J).
Démontrer que les deux courbes admettent un tangente commune T (pas forcément au même point) dont on donnera une équation.

J'ai calculé f'(x)= x et g'(x)= 4/x2/
J'ai trouvé yf= ((2x2 + a2)/2) - xa
         et yg= ((4x-4a)/x2) + 4/a
J'ai expliqué que T1 et T2 sont confondues ssi elles ont le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine.

Seulement voilà je n'arrive pas à résoudre ((2x2 + a2)/2)= ((4x+4a)/x2) et -ax= 4/a.

Je suis complètement bloqué et j'ai vraiment besoin d'aide.

Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 02-03-14 à 16:47

Bonjour

Il y a pas mal d'erreurs. D'abord g'(x)={\red -}4/x^2.

Mais surtout tes équations de tangente sont bizarres! L'équation de la tangente au point d'abscisse a est

y=f'(a)(x-a)+f(a)

En aucun cas il ne peut y avoir des x^2 dans l'équation d'une droite!

Posté par
MoutonRosere : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 02-03-14 à 16:57

Pourtant quand j'ai cherché les équations j'ai obtenu :

yf= f'(a)(x-a)+f(a)
yf= x(x-a)+ (a2/2)
yf= x2 - xa + (a2/2) -> j'ai rassemblée les carré et j'ai obtenu : ((2x2+a2)/2) - xa

et

yg= g'(a)(x-a)+f(a)
yg= 4/x2(x-a)-4/a
yg= (4x/x2) - (4a/x2) - 4/a -> j'ai rassemblée les termes et j'ai obtenu : ((4x-4a)/x2)-4/a

Je ne trouve pas mes erreurs :/

Posté par
Camélia Correcteurre : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 02-03-14 à 16:59

f'(a)=a et non x
g'(a)=-4/a^2

Posté par
MoutonRosere : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 02-03-14 à 20:09

je ne comprends toujours pas :
Même en remplaçant x par a j'obtient [tex]ax-a^2+\frac{a^2}{2}

Posté par
MoutonRosere : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 02-03-14 à 20:09

ax-a^2+\frac{a^2}{2} *

Posté par
malou Webmasterre : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 02-03-14 à 20:38

Bonsoir,

Camélia t'a corrigé tes dérivées

mais tu fais une erreur de raisonnement

il n'y a aucune raison que ces deux tangentes (l'une à Cf et l'autre à Cg) soient définies à deux points de même abscisse...là est ton problème

dis que cela se passe à un point de Cf d'abscisse a
et que cela se passe à un point de Cg d'abscisse b

et là tu vas dire que les deux coeff directeurs sont égaux, ainsi que les ordonnées à l'origine (ce raisonnement est OK)

et tu vas obtenir un système de deux équations d'inconnues a et b
et tu vas savoir les déterminer

voilà comment je sens la chose....

Posté par
MoutonRosere : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 18:49

J'ai essayé de finir l'exercice, mais mes équations sont toujours bizarres !
Pour yf j'ai : yf=f'(a)(x-a)+f(a)
               yf= a (x-a) + \frac{a^2}{2}
               yf= a^2 - ax + \frac{a^2}{2}

et pour yg j'ai : yg= g'(a)(x-a)+f(a)
                  yg= -\frac{4}{a^2} (x-a) + \frac{4}{a}
                  yg= \frac{4a}{a^2} - \frac{4x}{a^2} + \frac{4}{a}

je suis complètement perdue

Posté par
mathafou Moderateurre : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 19:27

Bonjour ,

déja erreurs grossières en développant
ensuite les a² on les regroupe ensemble
yf = a(x-a) +a²/2 OK
la suite complètement fausse
c'est
y = ax - a² + a²/2 = ax - a²/2


mais surtout tu ne serais pas un peu du genre tétu ?

Citation :
il n'y a aucune raison que ces deux tangentes (l'une à Cf et l'autre à Cg) soient définies à deux points de même abscisse...là est ton problème


et là dessus tu écris une tangente à Cf en un point d'abscisse a
et une tangente à Cg en un point de même abscisse a

tu n'aboutiras à rien du tout comme ça
suis les conseils de malou
tangente à Cf en un point d'abscisse a
tangente à Cg en un point d'abscisse \red b, pas a

et enfin écrire que ces deux tangentes sont une seule et même droite
donc que les coefficients de x sont égaux
y = ax + bla bla
y = -4x/b² + bla bla
donc a = -4/b²

idem pour les termes constants
ce qui donne un système de deux équations à deux inconnues a et b
qu'il reste à résoudre.

Posté par
MoutonRosere : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 19:37

Je n'avais pas compris ce que malou voulait dire par "deux point de même abscisses" ^^"
Par contre je ne comprends pas du tout d'où sort le a= -4/b^2 '___'

(oui je sais je suis trèèèès lente pour comprendre en math --")

Posté par
mathafou Moderateurre : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 19:58


il faut te le mettre en couleur ??

y = {\blue a}\, x - {\color[RGB]{0,160,0}\frac{a²}{2}} ça c'est l'équation de la tangente en a à Cf

y = {\red \frac{-4}{b^2}} x + {\color[RGB]{255,0,255}\frac{8}{b}} ça c'est l'équation de la tangente en b à Cg
écrire que c'est la même droite c'est écrire que

{\blue a} = {\red \frac{-4}{b^2}}

et pareil pour les termes constants :
{\color[RGB]{0,160,0} - \frac{a²}{2}} = {\color[RGB]{255,0,255}\frac{8}{b}}

et tu as donc maintenant à résoudre le système en les deux inconnues a et b :
\left\lbrace\begin{array}l a=\frac{-4}{b^2} \\ - \frac{a²}{2}=\frac{8}{b} \end{array}

ce qui te donnera les abscisses des points de contact : a avec Cf et b avec Cg.

Posté par
MoutonRosere : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 20:12

Donc maintenant, pour résoudre le système il faut trouver b grâce à la première équation pour pouvoir le remplacer ensuite dans la deuxième ? ça va comme ça ?

et merci pour les couleurs ça m'a bien aidé

Posté par
malou Webmasterre : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 20:22

tu choisis rarement ce qui est simple...!!

la 1re te donne a

prends le et remplace dans la 2e

tu trouveras alors b

Posté par
mathafou Moderateurre : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 20:27

tu opères ici au plus facile par substitution effectivement
(par exemple remplacer a par -4/b² dans la seconde équation)

mais la substitution n'est pas ce que tu décris.
en général on ne peut pas "trouver b" avec une seule des deux équations.
et ici ça ne déroge pas à la règle. aucune des deux équations prise isolément ne permet de trouver quoi que ce soit.
c'est la combinaison des deux qui permet de résoudre.

encore des couleurs si je comprends bien le seul langage que tu comprends...

\left\lbrace\begin{array}l {\red a=\frac{-4}{b^2}} \\ \\ - \dfrac{{\red a}^2}{2}=\frac{8}{b} \end{array}
est équivallent à :

\left\lbrace\begin{array}l a=\frac{-4}{b^2} \\ \\ - \dfrac{{\red \left(\frac{-4}{b^2}\right)} ^2}{2}=\frac{8}{b} \end{array}
etc ...

Posté par
MoutonRosere : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 21:21

Merci beaucoup !

Posté par
MoutonRosere : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 21:25

Par contre je crois que j'ai un gros problème avec les calculs parce qu'au point où j'en suis j'ai
\frac{16}{2b^4}=\frac{8}{b}

Posté par
malou Webmasterre : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 21:26

produit en croix, puis tout mettre dans un même membre

puis factoriser

Posté par
MoutonRosere : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 21:50

je trouve b=0 c'est pas normal si ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 22:05

Tu as vraiemnt l'esprit tordu.
on te dit ce qu'il faut faire, tu fais autre chose et tu gardes la seule des solutions qu'il faut éliminer !
pour b = 0 tu vas avoir du mal à calculer g(b) .. cette solution là est à éliminer, reste l'autre (ou les autres ?)

Posté par
MoutonRosere : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 22:15

On me le dit souvent je sais

Si je fais \frac{16b}{16b^2} je suis sur la bonne voie ou je m'enfonce encore plus ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 22:28

si "tu fais" juste une expression ... cela ne veut rien dire en mathématiques.
en cuisine on "fait" un gateau etc
en maths on effectue une opération que l'on précise, et on écrit à quoi ce qu'on calcule est égal.

on part de
16/(2b4) = 8/b et on suit pas à pas la recette de malou.

Citation :
produit en croix,

16b = 82b4)
(on effectue les multiplications aussi, 2 fois 8 ça fait 16)
16b = 16b4

Citation :
puis tout mettre dans un même membre
16b4 - 16b = 0
Citation :
puis factoriser

16b(b3 - 1) = 0

on peut même factoriser d'avantage :
16b(b-1)(b2 + b + 1) = 0
(je te laisse vérifier que b3 - 1 = (b-1)(b2 + b + 1))

et enfin on résoud "l'équation produit nul"
16b(b-1)(b2 + b + 1) = 0 pour en trouver toutes les solutions

enfin on élimine celles qui n'ont aucun sens (pour lesquelles l'équation de départ n'a aucun sens 8/b n'a aucun sens pour b = 0)

Posté par
MoutonRosere : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 22:37

Mon problème venait comme je le pensais du produit en croix ^^" va falloir reprendre les bases je crois ! Merci pour tout ce temps que vous avez consacré à mon exo ! ^^" je pense que ça ira !

Posté par
alb12re : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 22:48

salut, revoir les calculs, j'ai a=-4 et b=-1.

Posté par
mathafou Moderateurre : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 05-03-14 à 22:58

oui, moi aussi d'ailleurs sur mon brouillon en fait. bien vu.

j'ai dû me laisser entrainer à recopier une erreur de signe quelque part ...

erreur identifiée.
on partait de l'équation : (mon post de 20:27)

- \dfrac{\left(\frac{-4}{b^2}\right)^2}{2}=\frac{8}{b}

que MoutonRose a traduit en \dfrac{16}{2b^4}=\dfrac{8}{b}
et je n'ai pas relevé l'erreur à cet instant (et malou non plus)

Posté par
malou Webmasterre : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 06-03-14 à 11:25

passé au dessus, toutes mes excuses....

Posté par
alb12re : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 06-03-14 à 11:55

je n'ai evidemment pas calcule à la main ...
C'est un petit programme Xcas qui a sorti la reponse ...
Dommage que carpediem ne soit pas sur ce topic

Posté par
mathafou Moderateurre : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 06-03-14 à 12:23

oui, mais à la main c'est très faisable.
ton Xcas a joué le role d'arbitre impartial (j'avais fait pareil avec Geogebra pour vérifier qu'il n'y avait bien "étonnamment" qu'une seule tangente commune dans ce truc "à priori de degré élevé", en première on ne considère pas les asymptotes comme des "tangentes à l'hyperbole")

Posté par
alb12re : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 06-03-14 à 14:51

le nombre de topics qui traitent du meme sujet ...
On redit et refait quasiment la meme chose ...
Pourquoi les eleves ne cherchent-ils pas avant de demander ?
A quoi sert un moteur de recherche ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 06-03-14 à 15:12

encore faut il savoir s'en servir

et puis .. quel rapport entre :
"tangente communes entre courbes blabla et truc"
et à côté : "tangentes communes entre courbes chose et machin"

"mais ce n'est pas le même exo, j'y comprends rien, le mien c'est pas du tout ça .." etc ..
vu la difficulté à faire admettre le coup des deux abscisses différentes, "on" ne risque pas de faire le rapprochement pour voir que la méthode est la même quelles que soient les courbes considérées (si on ne me dit pas "multiplies deux par trois" explicitement je n'en aurais jamais l'idée, même si on me dit : tu multiplies les valeurs" ça ne me dit rien du tout. je veux des consignes précises, parce que je suis un robot)

bon, on va arrêter de rêver sur ce que pourraient faire et chercher les élèves qui viennent ici s'ils n'avaient pas besoin de venir ici
il y a un biais statistique trop important.

Posté par
alb12re : Démontrer que deux courbes admettent une tangente commune 06-03-14 à 17:11

en tout cas je tiens une idee de td:
1/ faire un ou deux exercices de ce type
2/ se dire qu'on ne va pas repeter eternellemnt la redaction, donc ecrire un script avec les commandes de Xcas.
3/ le verifier avec les exercices du debut de seance
4/ tester en controle et sans logiciel ce qu'il en reste dans la memoire des eleves. Surprise, surprise


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