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Démontrer que tous les termes d'une suite sont positifs
Bonsoir,
j'ai un petit problème avec un exercice donné par mon prof de maths, voici la partie que j'ai du mal à faire :
Soit U la suite définie sur N par Uo = 1 et U(n+1) = 1 + 1/Un
-> Démontrer que tous les termes de cette suite sont positifs.
Le problème est que nous n'avons encore jamais appris à démontrer cela. J'ai pour le moment utilisé un raisonnement par récurrence mais j'ai entendu dire qu'on pouvait transformer une suite en fonction, ou quelque chose comme ça.
Savez-vous comment démontrer cela ?
Merci pour votre aide.
Bonsoir, Mei Linh.
Tu peux utiliser la méthode d'induction.
1. Demontrer pour n=0
2. En sachant que pour n=i, Un est positif, alors Un+1 est-il positif?
1. EN effet: Pour n=0, U0 = 1 et, donc, positif.
2. Prenons Un+1, en sachant que Un est positif.
Un+1 = 1 +
C'est évident que si Un >0, son inverse aussi est > 0, et donc l'expression 1 + est également > 0.
QED
Bon courage!
Johnny
Salut
Bah, si tu l'as fait par récurrence, tu l'as bien montré pour tout n, donc c'est bon !
Sinon, tu peux considérer la fonction f définie par f(x)=1+1/x et
"Bah, si tu l'as fait par récurrence, tu l'as bien montré pour tout n, donc c'est bon !"
Mon problème n'est pas vraiment la démonstration, je voudrais juste aller un peu plus loin que mon raisonnement par récurrence. Quand j'ai entendu dire qu'on pouvait passer par les fonctions, ça m'a intéressée, et j'aimerais comprendre, voilà pourquoi je vous ai demandé votre aide.
Merci beaucoup à tous les deux pour vos réponses !
bonsoir.
Raisonner par réccurrence est la meilleure façon de démontrer cela mais je ne crois pas que ce soit au programme de première en tout cas pas ici au Cameroun.
Mais comme tu le dis si bien on peut le démontrer en substituant la suite (Un) à la fonction f définie dans ]0;+
[ par f(x)= 1+1/x .De l'étude de f on déduit que f est croissante et positive.
une autre façon de faire est de montrer que (Un) est croissante et comme son premier terme U0 est positif alors tous les autres termes le sont car étant tous plus grands que U0.
Effectivement, raisonner par récurrence n'est pas au programme de première S mais notre professeur aime bien nous faire des ouvertures sur la terminale, c'est en partie pourquoi il nous a proposé cet exercice.
Merci Arthurjorge.
Bonjour,
La démonstration par récurrence est la seule qu'on peut envisager ici , car le domaine de définition de f citée plus a pour domaine de définition IR*
Donc rien ne prouve que f(x) soit toujours positif !
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