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Démontrer une divisibilité

Posté par
Alaba27
06-12-20 à 20:48

* Modération >   *** Bonjour *** *

Montrer que ? n?1   a²+b²?-1 est divisible par ab

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer une divisibilité 06-12-20 à 20:56

Bonjour,
Ton message manque singulièrement de convivialité.
Par ailleurs, il est illisible.
Dans ton précédent sujet, tu n'as pas été très réactif...

Posté par
Alaba27
re : Démontrer une divisibilité 06-12-20 à 21:52

Sylvieg
excusez moi j'ai omis une partie très importante
Soit a et b deux entiers tq b=a+1
montrer que ∀n≥1, a²+b²ⁿ-1 est divisible par ab
Voici ce quej'ai essayé de faire:
Comme b=a+1 donc a=b-1
Donc (b-1)²+b² -1=b²ⁿ-2b+b²ⁿ
je fais toujours ces genres de combinaisons mais je ne vois rien

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer une divisibilité 06-12-20 à 22:06

C'est toujours peu lisible.
Il est où le n qui est minuscule ?
C'est a2 + b2-1 ou a2 + b2n-1 ou ??

Pour les exposants, il y a le bouton \; X2 \; sous le rectangle zone de saisie.
Il est fortement conseillé de faire "Aperçu" avant "POSTER".
Je ne vais plus être disponible avant demain.

Posté par
Alaba27
re : Démontrer une divisibilité 07-12-20 à 08:11

Oui c bien a²+b²ⁿ-1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer une divisibilité 07-12-20 à 08:21

C'est (en toutes lettres c'est mieux) a2 + b2n - 1 ?

Connais-tu une factorisation de \; qn - 1 \; ?

Posté par
flight
re : Démontrer une divisibilité 07-12-20 à 15:44

salut

malou edit> ***message modéré***nous sommes au niveau lycée***une autre méthode attendra***si tant est que celle-ci soit enseignée en 1re....***

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer une divisibilité 07-12-20 à 16:09

Bonjour flight
Oui, mais en première c'est un peu tôt.
Alors que la somme 1+q+q2+ ... +qn peut être connue.

Posté par
Alaba27
re : Démontrer une divisibilité 07-12-20 à 20:34

Oui Sylvieg
qⁿ-1=qⁿ-1ⁿ=(q-1)(qⁿ⁻¹+qⁿ⁻²+.....+1)
J'utilise un clavier scientifique c'est pour cela mes écritures sont différentes
Je ne comprends pas beaucoup vôtre clavier scientifique qui est dans le formu

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer une divisibilité 07-12-20 à 20:49

D'accord.
S = a2 + b2n -1.
Dans \; S , \; a2 + b2n \; peut s'écrire a2 + (bn)2 .
S = a2 + B2 -1 avec B = bn.
S =(a+B)2 - 2aB - 1

On peut facilement voir que \; 2aB \; est un multiple de \; ab \; si \; n 1 .

Reste à factoriser \; (a+B)2 - 1 \; pour démontrer que c'est aussi un multiple de \; ab .


Pour les exposants, il y a le bouton \; X2 \; sous le rectangle zone de saisie.
Il est fortement conseillé de faire "Aperçu" avant "POSTER".

Posté par
Alaba27
re : Démontrer une divisibilité 11-12-20 à 21:14

Sylvieg merci beaucoup on l'avait même corrigé en classe avec une autre méthode mais je pense que celle-ci est plus facile

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer une divisibilité 11-12-20 à 21:52

De rien, et à une autre fois sur l'île \;

Posté par
carpediem
re : Démontrer une divisibilité 12-12-20 à 09:40

salut

je ne vois pas l'intérêt de poser un tel problème avec deux variables liées de façon aussi simple ...

le pb se résume simplement à :

démontrer que p(p + 1) divise m = p^2 + (p + 1)^{2n} - 1               ou  
(p - 1)p  divise m = (p - 1)^2 + p^{2n} - 1

p(p + 1) divisant tous ses multiples (tautologie) on en déduit que :

p(p + 1) divise m <=> p(p + 1) divise p^2 + (p + 1)^{2n} - 1 + 2p(p + 1)^n = [p + (p + 1)^n]^2 - 1 = [(p + 1)^n + p + 1][(p + 1)^n + p - 1]

le premier facteur est évidemment multiple de p + 1 (on peut même factoriser)
le deuxième facteur est multiple de p  : cela peut se montrer de deux façons : soit avec le binome de Newton soit par la somme des termes d'une suite géométrique (deux méthodes de terminale)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer une divisibilité 12-12-20 à 11:40

Bonjour carpediem
D'accord avec ta première ligne.
Moins d'accord avec celle-ci :

Citation :
ou
(p - 1)p divise m = (p - 1)^2 + p^{2n} - 1
que j'ai mis au moins 5 secondes à comprendre

Ceci aurait été plus clair pour moi :
ou
(k - 1)k divise m = (k - 1)^2 + k^{2n} - 1

Après, je n'aime pas ces équivalences qui n'en sont pas.

La somme des termes d'une suite géométrique ne se voit qu'en terminale ?

Posté par
carpediem
re : Démontrer une divisibilité 12-12-20 à 12:08

j'ai pris p qui désigne "conventionnellement " un entier tout comme k que j'aurai effectivement plus prendre ...
mais j'ai pris la même lettre p pour la deuxième formulation qui s'obtient à partir de la première par simple décalage de 1 (c'est le même principe avec l'indice d'une somme où on va prendre la même lettre avec un changement d'indice implicite)


par contre je ne suis pas d'accord : on a bien une équivalence :

d divise n si et seulement si d divise n + kd pour tout entier k :

si d divise n alors par combinaison linéaire d divise n + kd

si d divise n + kd (pour tout k) alors par combinaison linéaire d divise n + kd  - kd  = n


et en fait il suffit d'un k pour avoir pour tout k puisqu'on ne change pas le reste d'une division euclidienne en ajoutant un multiple du diviseur au dividende ...

Posté par
carpediem
re : Démontrer une divisibilité 12-12-20 à 12:11

peut-être en première aussi !!

le binome lui ne se voit qu'en terminale en tout cas ...

effectivement en regardant le niveau du post c'est peut-être problématique ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer une divisibilité 12-12-20 à 16:59

Le symbole \; \; est à réserver à des choses précises, pas à des égalités d'un côté et pas d'égalité de l'autre côté.
Les égalités sont à écrire à part.

m = p^2 + (p + 1)^{2n} - 1 + 2p(p + 1)^n = [p + (p + 1)^n]^2 - 1 = [(p + 1)^n + p + 1][(p + 1)^n + p - 1]

Puis : p(p + 1) divise m \; \; p(p + 1) divise [(p + 1)^n + p + 1][(p + 1)^n + p - 1]

Posté par
carpediem
re : Démontrer une divisibilité 12-12-20 à 17:56

le symbole est un connecteur propositionnel et j'y ai bien mis deux propositions de chaque côté

je reconnais cependant que j'ai condensé l'écriture avec ma suite d'égalités dans la deuxième proposition ... mais nous sommes sur



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