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Demontrer une implication

Posté par
Khola22 18-10-19 à 21:36

Bonjour!
Je me bloque sur cette question veuillez m'aider SVP

Citation :
Montrer que:
a^4-4a^3-4a^2+16a-8\leq 0 \Rightarrow a\leq 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}

Peut trouver la demonstration sans utiliser contraposé ??
Mercii

Posté par
alb12re : Demontrer une implication 18-10-19 à 21:56

salut, il suffit de faire le tableau de signes de l'expression de gauche:

\\ \left(\begin{array}{cccccccccccc} \\ a & -\infty  &   & -\sqrt{2}-\sqrt{3}+1 &   & \sqrt{2}-\sqrt{3}+1 &   & -\sqrt{2}+\sqrt{3}+1 &   & \sqrt{2}+\sqrt{3}+1 &   & +\infty  \\ \\ a^{4}-4\cdot a^{3}-4\cdot a^{2}+16\cdot a-8 & +\infty  & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & +\infty \\ \end{array}\right) \\

Posté par
Khola22re : Demontrer une implication 18-10-19 à 22:01

On ne fait de tableau de signe pour un polynôme degré 4

Posté par
alb12re : Demontrer une implication 18-10-19 à 22:07

ou utiliser le tableau des variations de l'expression:

\\ \left(\begin{array}{cccccccccc} \\ a & -\infty  &   & -\sqrt{5}+1 &   & 1 &   & \sqrt{5}+1 &   & +\infty  \\ \\ y'=(4\cdot (a-1) (a^{2}-2\cdot a-4)) & -\infty  & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & +\infty  \\ \\ y=(a^{4}-4\cdot a^{3}-4\cdot a^{2}+16\cdot a-8) & +\infty  & \searrow  & -24 & \nearrow  & 1 & \searrow  & -24 & \nearrow  & +\infty \\ \end{array}\right) \\

Posté par
carpediemre : Demontrer une implication 18-10-19 à 23:58

certes il suffit .... et sans machine ?

Posté par
alb12re : Demontrer une implication 22-10-19 à 16:06

Etudier les variations est-il si difficile ?

Posté par
matheuxmatoure : Demontrer une implication 22-10-19 à 16:16

si je ne m'abuse, ton expression s'écrit

a²(a-2)² - 8(a-1)²

ce qui se factorise avec une identité remarquable en produit de deux trinômes, ce qui permet d'en étudier le signe

Posté par
carpediemre : Demontrer une implication 22-10-19 à 16:28

f(a) = a^4 - 4a^3 - 4a^2 + 16a -8 = (a - 1)^4 -10a^2 + 20a - 9 = (a - 1)^4 - 10(a - 1)^2 + 1 = [(a - 1)^2 - 5]^2 - 24 = [(a - 1)^2 - 5 - 2 \sqrt 6][(a - 1)^2 - 5 + 2 \sqrt 6]

or 5 + 2 \sqrt 6 = 2 + 2 \sqrt 6 + 3 = (\sqrt 2 + \sqrt 3)^2  et  2 \sqrt 6 - 5 = (\sqrt 3 - \sqrt 2)^2

donc f(a) \le 0 \iff (a - 1)^2 - 5 - 2 \sqrt 6 \le 0 \iff (a - 1 - \sqrt 2 - \sqrt 3)(a - 1 + \sqrt 2 + \sqrt 3) \le 0

le résultat est alors immédiat ...

Posté par
carpediemre : Demontrer une implication 22-10-19 à 16:30

matheuxmatou : a^2(a - 2)^2 = (a - 1 + 1)^2(a - 1 - 1)^2



j'ai directement utiliser le binome à l'ordre 4 ... et que tout le monde connait !!! surtout avec ce -4x^3

évidemment sans -4 ça aurait été m...e


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