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dénombrement de permutations et de combinaisons

Posté par
Nelcar
14-11-20 à 19:14

Bonjour,
voici un exercice que je dois faire à savoir :
Le tournoi des 6 Nations est un tournoi de rugby. Chaque équipe affronte les cinq autres une seule fois.
1) lors d'un match le stade contenait 80 000 spectateurs dont 52 000 Français. Il y avait 11 180 Anglaises et 38 700 hommes français.
Combien d'hommes étaient présent au stade ?

j'ai trouvé 44 900 Hommes présent au stade

2) Combien de matchs sont disputés lors de ce tournoi ?

j'ai fait :l'arbre et j'ai trouvé 15 matchs

3) a) Combien y a-t-il de classements différents

j'ai fait : 6*5*4*3*2*1= 720 possibilités

b) Combien y a-t-il de classements différents avec la France à la 4ième place, sachant qu'il n'y a pas d'ex-æquo ?
j'ai fait 15*14*13*12*11)/(5*4*3*2*1)= 3003

4) On demande au sélectionneur de l'équipe de France d'assister à une réunion avec les arbitres et cinq de ses joueurs. Il décide d'amener 5 joueurs parmi les 15 qui ont débuté le dernier match
a) combien de groupes de 5 joueurs peut alors composer le sélectionneur ?
j'ai fait : (15*14*13*12*11)/(5*4*3*2*1)= 3003   (ça me semble beaucoup ?)

b) il décide d'amener le capitaine de l'équipe. Combien de groupes de 5 joueurs peut-il alors composer ? (14*13*12*11)/(4*3*2*1)= 1001 (toujours pareil ça me semble beaucoup ?)

5) On a représenté ci-dessous la 15° ligne du triangle de Pascal issue d'une feuille de calcul d'un tableur (document joint je l'ai mis en rouge)
a) On saisit 1 dans la cellule A16. Quelle formule, destinée à être recopiée vers la droite, peut-on saisir dans la cellule B16 afin d'obtenir la plage de cellules B1616?

j'ai mis : cellule B16 je met :=A15+B15

b) quelle cellule donne le résultat de la question 4 a) ?
I15

MERCI

dénombrement de permutations et de combinaisons

Posté par
manu_du_40
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 14-11-20 à 21:08

Bonsoir,
il y a des choses à reprendre et ce dès la 1ère question...
Je ne trouve pas 44900 hommes. Peux-tu détailler ton calcul ?

Pour la 2e question, je suis d'accord avec le résultat mais je trouve étonnant de faire un arbre...

On verra après pour les autres questions.

Posté par
Nelcar
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 08:14

Bonjour à vous tour,
manu_du_40 : question 1 : en effet j'ai fait une erreur de données en recopant (j'ai pris 11 800 au lieu de     11 180)
j'ai donc : 55 520 hommes (52 000 français dont 38 700 hommes, reste 80 000 -52 000 = 28 000 - 11 180 Anglaises = 16 820 Anglais ) 38 700 + 16 820 = 55 520
question 2 : oui j'aurai pu évider de faire un arbre  donc je fais 5 +4+3+2+1 = 15 matchs (mais à vrai dire je ne comprenais pas pourquoi il fallait ajouter c'est pour cela que j'ai préféré faire un arbre qui m'a permis de mieux comprendre)

Merci

Posté par
ty59847
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 09:37

Question 3a) et 3b)
Tu dis qu'il y a 720 classements différents, dont 3003 pour lesquels la France arrive en 4ème position.
Il n'y a rien qui te choque ?

Posté par
Nelcar
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 10:03

Bonjour,
ty59847 : En effet je n'ai pas fait attention
3) a) Combien y a-t-il de classements différents

j'ai fait : 6*5*4*3*2*1= 720 possibilités

b) Combien y a-t-il de classements différents avec la France à la 4ième place, sachant qu'il n'y a pas d'ex-æquo ?
j'ai fait 15*14*13*12*11)/(5*4*3*2*1)= 3003
En effet je me suis trompée pour 3b) donc 5*4*3*2*1=120 (évidemment que le résultat du b devait être inférieur au résultat du a, je n'ai pas fait attention à toi sur ce coup là)

Merci de me confirmer

Posté par
Nelcar
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 10:16

Re, ty59847
de ce fait je viens de regarder la question 4
pour le 4 a) j'ai 11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 66 possibilités de groupe de 5
pour le 4 b) j'ai 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 55 possibilité de faire un groupe de 5 en mettant le capitaine

MERCI

Posté par
Nelcar
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 10:18

Re,
et de ce fait la réponse 5 b) est C13

MERCI DE ME CONFIRMER

Posté par
manu_du_40
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 11:32

Re Nelcar

Pour les questions 4a et 4b, les réponses que tu avais mis dans ton post initial était correctes (3003 et 1001).
Si tu connais les coefficients binomiaux, tu peux répondre en disant :
4.a)"l'ordre dans le choix des joueurs n'a pas d'importance donc on cherche le nombre de combinaisons de 5 joueurs parmi 15" \begin{pmatrix} 15\\ 5 \end{pmatrix}=3003.

4.b) On choisit le capitaine puis 4 autres joueurs parmi 14 d'où \begin{pmatrix} 14\\ 4 \end{pmatrix}=1001.

C'est ce que tu fais sans le dire lorsque tu fais le calcul (15*14*13*12*11)/(5*4*3*2) (pour la 4.a)

Posté par
manu_du_40
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 11:34

Pour la cellule qui donne la réponse à la 5.b), ce n'est pas C13 du coup...

Posté par
Nelcar
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 13:52

Re,
donc si j'ai bon à la question 4 ça veut dire que j'ai faut à la question 3

pour le 5 c'est donc ce que j'avais répondu tout au début c'est I15

Pour la question 3 :
3) a) Combien y a-t-il de classements différents

j'ai fait : 6*5*4*3*2*1= 720 possibilités

b) Combien y a-t-il de classements différents avec la France à la 4ième place, sachant qu'il n'y a pas d'ex-æquo ?

donc 5*4*3*2*1=120 possibilités

Merci de me dire si c'est bon

Posté par
manu_du_40
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 14:01

Pour les questions 3a et 3b, 720 et 120 c'est bon.

Pour I15, il y a certes la bonne valeur mais ce n'est pas la réponse attendue ici. Tu dois localiser le coeff binomial 5 parmi 15 dans ta feuille de calcul.
En I15, tu as 8 parmi 14 en fait...

Posté par
Nelcar
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 14:45

re,
manu-du-40 : je viens de m'apercevoir qu'il y a deux cellules avec 3003
la cellule G15 et I15
que dois-je faire car il est noté quelle cellule ? (donc une)
ensuite je ne comprend pas ce que tu me mets à savoir I15 tu as 8 parmi14 en fait
merci de m'expliquer.

MERCI

Posté par
manu_du_40
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 14:58

Citation :
je viens de m'apercevoir qu'il y a deux cellules avec 3003
la cellule G15 et I15


Je dirais même plus, il y en a 4 (en ajoutant F16 et K16).

Citation :
je ne comprend pas ce que tu me mets à savoir I15 tu as 8 parmi14 en fait


8 parmi 14 est le coefficient binomial défini par le nombre de combinaisons possibles lorsqu'on choisit 8 éléments dans un ensemble qui en contient 14. On le note souvent \begin{pmatrix} 14\\ 8 \end{pmatrix}  mais il existe d'autres notations.

Par exemple, dans la question 4.a, lorsque tu fais le calcul (15*14*13*12*11)/(5*4*3*2*1)= 3003, tu calcules \begin{pmatrix} 15\\ 5\end{pmatrix}
Mais il existe un moyen très simple de calculer n'importe quel coefficient \begin{pmatrix} n\\ k\end{pmatrix} en utilisant le triangle de Pascal. Il faut pour cela connaître les coefficients \begin{pmatrix} n-1\\ k-1\end{pmatrix} et\begin{pmatrix} n-1\\ k\end{pmatrix}.
Autrement dit, dans ta feuille de calcul, la valeur d'une cellule est la somme de la cellule qui est juste au dessus et celle qui est "au-dessus et un cran à gauche".  C'est ce que tu dis à la question 5.a avec "B16=A15+B15 ".

Si tu veux vraiment comprendre comment fonctionne le triangle de Pascal, tu peux regarder cette vidéo :

Posté par
Nelcar
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 15:23

Re,
sur l'énoncé il n'est mis que la ligne 15 donc sur cette ligne j'ai 2 résultats avec 3003 la cellule G15 et I15 . Laquelle est à prendre (vu qu'il est mise quelle cellule ...)
j'ai compris comment fonctionne le triangle de Pascal
ce que je ne comprend pas car ici c'est (15   en dessous 5) (je ne sais pas comment tu fais. Et rien ne correspond aussi bien G15 que I15
G15 j'ai 15 et 7    et I15 j'ai 15 et 9

toujours le même problème que dois-je répondre (et j'aimerai savoir pourquoi)

MERCI

Posté par
manu_du_40
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 15:40

Attention ! Le n° de la ligne du tableur n'est pas le même que le n° de la ligne du triangle de Pascal.

La ligne 1 du tableur correspond  à n=0, la ligne 2 à n=1 etc...

Du coup, les coefficients \begin{pmatrix} 15\\ k \end{pmatrix} sont à la ligne 16 du tableur.
(Attention il y a le même décalage sur les colonnes).

Posté par
manu_du_40
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 15:42

Citation :
ici c'est (15   en dessous 5) (je ne sais pas comment tu fais

tu peux dire "5 parmi 15". Tout le monde comprendra.
Sinon, il faut utiliser le 2e bouton LTX (sous la fenêtre dans laquelle tu écris pour répondre) et faire une matrice avec 2 lignes et une colonne.

Posté par
Nelcar
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 16:33

Re,
ok merci pour ce renseignement
15
 \\ 5

tu ne réponds pas à ma question que dois-je répondre  . je dois répondre à cette question 5) On a représenté ci-dessous la 15° ligne du triangle de Pascal issue d'une feuille de calcul d'un tableur (document joint je l'ai mis en rouge)
a) On saisit 1 dans la cellule A16. Quelle formule, destinée à être recopiée vers la droite, peut-on saisir dans la cellule B16 afin d'obtenir la plage de cellules B1616?

j'ai mis : cellule B16 je met :=A15+B15

b) quelle cellule donne le résultat de la question 4 a) ?

donc si je tiens compte du décalage de 1 horizontalement et verticalement je dois donc prendre F16 qui correspond à 5 parmi 15

c'est bien ça

MERCI

Posté par
manu_du_40
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 16:59

Oui c'est bien en F16 qu'on trouvera 5 parmi 15.
Tu as donc répondu à ta question tout seul et c'est beaucoup mieux ainsi

Posté par
Nelcar
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 17:33

Re,
Merci manu-du-40 j'ai compris ce que tu voulais me dire
Un grand merci

je récapitule cet exercice à savoir :
1) 55 520 hommes
2) 15 matches
3) a) 720
b) 120
4 a) 5 parmi 15 = 303
b)4 parmi 14 = 1001
5a)  =A15+B15
b)F16

UN GRAND MERCI

Posté par
manu_du_40
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 17:36

Citation :
5 parmi 15 = 3003

Posté par
Nelcar
re : dénombrement de permutations et de combinaisons 15-11-20 à 18:05

Oui je ne me suis pas relue. C'est bien 3003

Merci encore et bonne soirée



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