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Dénombrement et fonctions
Bonsoir et merci d'avance
EXERCICE :
Un sac contient 6 jetons sur lesquels sont inscrit les nombres -2; -1 ; 0 ; 1; 2 et 4. On tire successivement sans remise 3 jetons du sac et on désigne par a, b et c les numéros marqués sur les jetons obtenus dans l'ordre du tirage. On considère la fonction (définie par : ax² + bx + c)
1) Combien de fonction peut-on définir ?
2) Combien de fonctions admettant un extremum en 1 peut-on définir ?
3) De Combien de façons peut-on obtenir un polynôme dont la courbe rencontre l'axe des
abscisses en -1 et 1 ?
Pour mon travail :
1) N = arrangement de 3 dans 6
2) Ici, je bloque mais je sais tout de même que l'extremum est un point ou la dérivée s'annule en changeant de signe. (1 est donc potentiellement une racine de la dérivée) or, f'(x) = 2ax + b
D'où f'(1) = 0 implique 2a + b = 0
Ensuite a = -b/2
En dénombrant, j'ai :
a = -1 et b = 2
a = 1 et b = -2
a = 0 et b = 0
a = -2 et b = 4
Donc on peut obtenir 4 fonctions
3) Là j'ai aucune idée.
Pour le 2)a) on a bien 0 = -0/2 c'est pour cette raison que j'inclus 0 n'est pas possible?
f(-1) = ax -b + c
f(1) = ax + b + c
2) a ne peut pas être égal à 0 pour plusieurs raisons :
- si a=0 alors la fonction est de forme affine, et dans ce cas la fonction n'a pas d'extremum.
- si a
0, alors alpha = -b/2a ==> division par 0 impossible
- et par ailleurs, le tirage est SANS remise : si 0 sort pour a, alors pour b, 0 est impossible.
3) intersection de Cf et de l'axe des abscisses en -1 et 1 :
{f(-1) = 0
{f(1) = 0
{a - b + c = 0
{a + b + c = 0
d'où il ressort que b = ...?
demande de précision:
dans l'énoncé est-il dit exactement "On considère la fonction (définie par : ax² + bx + c) " ?
(sans précision "du second degré"?)
- si rien d'autre n'est dit, alors pour la question1) ta réponse est la bonne;
on peut envisager d'avoir une fonction affine
- s'il est précisé "fonction du second degré", sachant que a0, il faut revoir ta réponse.
{a - b + c = 0
{a + b + c = 0
-------------------- SOUSTRAIS membre à membre et déduis-en la seule valeur possible pour b
oui b = 0
note : on pouvait aussi faire :
a - b + c = a + b + c 
-b = b
b=0
----
donc le système d'équation devient quoi?...
d'où combien de possibilités de fonctions ?
Il devient f(x) = ax² + c or x² = 1
soit a = -c
on peut donc avoir
*a = 1 et c = -1
*a = 2 et c = -2
le système d'équation
{a - b + c = 0
{a + b + c = 0
devient a+c = 0, soit a = -c --- je suis d'accord
----
avec b = 0 on peut donc avoir
*a = 1 et c = -1
*a = 2 et c = -2 ---- pas seulement... et a = -1, par exemple ? 
salut
on peut quand même aller un peu plus vite ...
un polynome de degré deux qui admet les racines 1 et - 1 s'écrit a(x^2 - 1) ...
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