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dérivation

Posté par thia_666 (invité) 30-12-04 à 22:00

me revoilà ^^

alors maintenant je voudrais savoir si pour trouver la dérivabilité d'une fonction (f(x)=racine de (4-x2)) en un nb (2 par exemple)
est-ce qu'il faut faire f'(a)*(x-a)+f(a)
ou un autre calcul ??

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 30-12-04 à 22:18

Bonjour,

Vous dites : pour trouver la dérivabilité d'une fonction (f(x)=racine de (4-x2)) en un nb (2 par exemple)
est-ce qu'il faut faire f'(a)*(x-a)+f(a)
ou un autre calcul ??


A première vue, si vous savez pas si la fonction est dérivable ou non en "a", vous n'avez pas le droit de parler de f '(a).

Par contre, pour prouver qu'une fonction est (ou n'est pas) dérivable en "a", une méthode consiste à étudier la limite de [f(a+h)-f(a)] / h
quand h tend vers 0.

Dans votre cas il vaut mieux étudier la limite de [f(a-h)-f(a)] / h
quand h tend vers 0.

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 30-12-04 à 22:20

oui mais c'est impossible vu que 2 est une valeur interdite...alors je sais pas coment faire

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 30-12-04 à 22:29

comment faire ??svp

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 30-12-04 à 22:31

2 n'est pas une valeur interdite de f.

Vous pouvez calculer f(2-h) et f(2).

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 30-12-04 à 22:36

sa donne [racine de(x2)]/x
non??

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 30-12-04 à 22:39

Bon, résolvons cette question ensemble.

f est définie sur [-2,2].

Donc il faut calculer f(2) et f(2-h).

Donnez moi les résultats pour f(2) et f(2-h).

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 30-12-04 à 22:45

j'ai trouver f(2)=racine de(4-(2)2)
                 =racine de(4-4)
                 =racine de(0)
or,c'est impossible qu'une racine soit =0 ...
et           f(2-h)=racine de(4-(2-h)2)
                   =racine de(4-(4-h2)
                   =racine de(h2)
voilà
je sais pas si c'est bon mais du moins j'ai trouver cela

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 30-12-04 à 22:49

1) Vous dites : c'est impossible qu'une racine soit =0

Non, ce qui n'existe pas, c'est la racine d'un nombre négatif.

Par contre racine(0) = 0.

2) (2-h)² est une identité remarquable du type (a-b)² = a²-2ab+b².
Donc (2-h)² n'est pas égal à 4-h².

Avec cette indication, donnez-moi l'expression de f(2-h).

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:02

ok merci de votre aide
alors f(2-h)=racine de(4-(2-h)2)
                   =racine de(4-(4+h2-8h))
                   =racine de(-h2+8h)
non??

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:03

Bon, je dois vous quitter, je vous ai mis sur la voie, j'espère que vous pourrez continuer.

Si vous avez des soucis sur cet exercice, n'hésitez pas à reposer des questions (sur le même topic).

Je me reconnecterai demain soir et regarderai si vous avez renvoyé un message.

Bonne nuit à tous.

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:05

Bon, si vous êtes toujours là, continuons un peu.

Voulez-vous continuer ?

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:10

ok pas de pb^^ j'ai repondu juste au dessus pour la question que vous m'aviez poser

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:19

Bon,

Donc il faut déterminer la limite de  [f(2-h) - f(2)] / h
Quand h -> 0.

Vous avez calculé et trouvé :
f(2) = 0
f(2-h) = (8h - h²).


Mon commentaire :Ce n'est pas 8h mais 4h (identité remarquable !! 2ab = 2*2*h = 4h)
Donc f(2-h) = (4h - h²).

La suite : il faut simplifier [f(2-h) - f(2)] / h
- Vous allez factoriser par h l'intérieur de la racine dans l'expression (4h - h²).
- Vous allez écrire que le "h" du dénominateur est égal à h * h.

Quelle est donc l'expression que vous trouvez pour  [f(2-h) - f(2)] / h ?

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:26

racine[ h(4-h) ] / [ racine(h)*racine(h)]

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:31

C'est juste.

Maintenant,

en utilisant la règle suivante :

(A*B) = A * B,
(A et B positifs)


vous allez transformer le numérateur.

Que trouvez-vous pour l'expression [f(2-h) - f(2)] / h

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:33

h * 4-h / [ h * h ]

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:35

C'est juste.

Maintenant, vous pouvez simplifier votre expression.

Que trouvez-vous ?

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:35

et on simplifie après les h en haut et en bas si je comprend bien ??

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:36

donc sa donne 4-h / h

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:41

Oui, c'est ça !

Maintenant, rappelons qu'il fallait étudier la limite de [f(2-h) - f(2)] / h
quand h -> 0.

Or vous avez calculé et trouvé :
[f(2-h) - f(2)] / h = (4-h) / h

Questions
Donnez-moi :
- la limite de (4-h) quand h -> 0
- la limite de h quand h -> 0

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:44

ça revient à remplacé h par 0 il me semble ? :s
si j'ai bien raison ça donne:
la limite de (4-h) = 4 = 2
la limite de h = 0 = 0

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:47

Vous dites : ça revient à remplacé h par 0 il me semble ?

Quand c'est possible, oui, en effet. Tout du moins pour les fonctions que l'on étudie au lycée.

Vos limites sont justes.

Donc résumons, quand h -> 0 :
- le numérateur tend vers 2.
- le dénominateur est positif (c'est une racine carrée) et tend vers 0.

Quelle est donc la limite de la fraction ?

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:49

je ne sais pas du tout
j'aurais tendance a faire 2/0 = 0 comme limite de la fraction mais bon :s je ne suis pas sur du tout que cela est juste ...

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:55

Vous dites : j'aurais tendance a faire 2/0 = 0 comme limite de la fraction mais bon :s je ne suis pas sur du tout que cela est juste ...

En effet, cela n'est pas juste.

Si vous effectuez 2/0 à la machine, elle vous renvoie une erreur.
2/0 ne peut pas se calculer. (donc n'est pas égal à zéro).

Par contre, quand vous avez une fraction telle que :
- le numérateur est proche de 2,
- le dénominateur est proche de 0 (en étant positif),
la question est de savoir vers quelle valeur se rapproche la fraction.

Donc pour en avoir une idée, testez sur des valeurs possibles.
Exemple : calculez 2,00001 / 0,0000001.

1) Que vous donne la machine ?

2) Avez-vous maintenant une idée de la limite de la fraction ?

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:58

elle me donne 2.0000099
donc je pense que la limite est infiniment proche de 2

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 30-12-04 à 23:58

oula tite erreur :s cela donne 20000100 ...

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 31-12-04 à 00:00

Donc....

Avez-vous maintenant une idée de la limite de la fraction ?

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 31-12-04 à 00:02

bah oui d'environ 2 mais bon cela donne un chiffre extreme comme même ici, c'est normal ?

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 31-12-04 à 00:07

Qu'entendez-vous par un chiffre extreme ?

C'est "un chiffre grand" ? oui, c'est normal.

L'idée est que :
Plus le numérateur est proche de 2 et le dénominateur est proche de 0,
plus la fraction sera grande.

Donc la limite de [f(2-h) - f(2)] / h est égale à +

Mais on sait qu'une fonction est dérivable en "a" si la limite de [f(a+h) - f(a)] / h est FINIE.

Qu'en déduit-on ici ?

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 31-12-04 à 00:10

pk la limite de [f(2-h)-f(2)]/h est égale a + ??

on en déduit donc que la fonction est dérivable en 2 car sa limite est infiniment proche de 2

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 31-12-04 à 00:16

Vous dites : pk la limite de [f(2-h)-f(2)]/h est égale a + ??

Parce-que quand h -> 0 la quantité [f(2-h)-f(2)]/h, (c'est à dire (4-h) / h) grandit indéfiniment.

Observez ce que vous avez trouvé sur un exemple : la fraction était égale à 20000100 (un nombre très grand).

Comprenez-vous ?

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 31-12-04 à 00:21

oui je viens de comprendre
merci pour votre aide, je vais etre "chiante" et vous demandez une autre aide pour une question que j'ai a la suite de cet exercice, si vous pourriez me mettre sur la voie pour que je puisse comprendre ce qu'on me demande
voici la question : montrer que tout point M de (C) ( courbe représentative dans un repère orthonormé de la fonction que je vous ai donné au tout debut) d'abscisse x , on a :OM=2

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 31-12-04 à 00:23

ahhhh j'ai compris mdr

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 31-12-04 à 00:24

en traçant la courbe , on voit que cela forme un arc de cercle... de rayon 2

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 31-12-04 à 00:25

mais par contre je ne sais pas comment le montrer :s

Posté par miquelon (invité)re : dérivation 31-12-04 à 00:33

Vous dites : OM=2

O est l'origine du repère.

Si vous tracez à la machine la courbe de f, vous vous apercevez que c'est un demi-cercle de centre O et de rayon 2.

Pour démontrer que OM = 2 :

1) Il faut déterminer les coordonnées de M.
Son abscisse est x
Son ordonnée est ... (rappelez-vous que M est sur la courbe)

2) Il faut appliquer la formule de la distance dans un repère orthonormé.
Si A(xA,yA) et B(xB,yB)
Alors AB = [(xB-xA)²+(yB-yA)²].

Ici les deux points sont O(0,0) et M(x,...) donc OM = ...
A vous de finir.

----------------------------------------------------

Bon, permettez-moi de revenir sur cette question de dérivabilité.

Comme la limite de [f(2-h) - f(2)] / h n'est pas finie (car elle est égale à +l'infini), on peut dire que la fonction f n'est pas dérivable en 2.

Graphiquement, cela se caractérise par le fait que la tangente au point de coordonnées (2,0) est verticale.

Allez, travaillez bien.

Moi, je vais dormir.

Posté par thia_666 (invité)re : dérivation 31-12-04 à 00:34

merci pour votre aide , bonne nuit



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