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dérivation

Posté par
Pietrosella
19-02-12 à 15:18

Bonjour à tous,
J'aurais besoins d'aide pour démarrer cet exercice à rendre pour la rentrée. Surtout pour le 1.a et 1.b, pour la suite je pense m'en sortir, je verrai plus tard.
MERCI d'avance à tous, voici le sujet :

Un flacon de parfum :
Un graphiste designer  a conçu un flacon pour un parfum. Il s'agit d'un parallélépipède rectangle de base carrée surmonté d'un cube, comme le montre la figure à la fin de l'exercice :          


Le cube de base EFGH est placé au centre de carré supérieur ABCD. La variable x désigne la distance entre les côtés du carré de base EFGH du cube et les côtés du carré ABCD. Le flacon a une hauteur totale de 8 cm et les côtés du carré ABCD mesurent 6 cm. On a admettra que l'on a :
                                                  0x3
1/a) Démontrer que le volume du petit cube en cm3  est :
U(x)=-8x3+72x2-216x+216
b) En déduire que le volume total du flacon en cm3 est :
V(x)=-8x3+72x2-144x+288

2/soit f la fonction définie sur R  par :
F(x)=-x3+9x2-18x+36
Soit C la courbe représentant la fonction F dans le plan muni d'un repère orthogonal (O,I,J)(unités graphiques : 5 cm en abscisse et 0.5 cm en ordonnée).
A) Déterminer la fonction F', fonction dérivée de F.
B) Etudier le signe de F'(x) sur R (on appellera A et B les solutions de l'équation F'(x)=0, avec <).
C) Dresser le tableau de variation de F sur [0 ; 3]. (On  pourra utiliser un logiciel de calcul formel  pour obtenir l'expression exacte de F(), ou donner une valeur approchée à 10-3 près de  F().)
D) Pour quelle valeur de x cette fonction admet-elle un minimum sur [0 ; 3] ?
E) En utilisant le tableau de variation précédent, donner le nombre de solution de l'équation F(x)=31.25 dans l'intervalle [0 ; 3].
Donner  une valeur approchée à 10-1 près de ces deux solutions. (On pourra utiliser la calculatrice ou un logiciel de calcul formel.)

3/a) Vérifier que le volume du flacon est V(x)=8f(x).
b) A l'aide du 2/ de ce problème, déterminer la valeur en cm3, arrondie à l'unité, du volume minimum Vm  et la valeur du volume maximum Vm.
c) Peut-on avoir un flacon dont le volume soit de 250 ml (on rappelle que 1 litre=1dm3) ? Si oui, quelles sont alors les dimensions possibles de la partie cubique supérieure ? On donnera des valeurs approchées au mm près.

dérivation

Posté par
hekla
re : dérivation 19-02-12 à 21:10

bonsoir

quelle est la longueur du côté du cube ? sachant AB =6 et que vous enlevez une longueur de mesure x de chaque côté de la base du cube.
après vous pouvez calculer le volume de ce cube
2)quelle est la hauteur du parallélépipède   le tout vaut 8 mais il faut enlever la longueur précédente  c'est à dire la hauteur du cube
après vous pouvez calculer le volume du parallélépipède  et faire la somme des deux volumes

Posté par
Pietrosella
derivation 20-02-12 à 14:09

Bonjour, merci pour la reponse mais c'est assez vague, est il possible d'avoir plus de précision? Merci

Posté par
hekla
re : dérivation 20-02-12 à 14:44

Bonjour
quelles précisions voulez-vous ?

dérivation

Posté par
Pietrosella
re : dérivation 20-02-12 à 14:52

je sais qu'il faut caculer le volume entier du flacon puis enlever si qui a autour du petit cube pour trouver son volume mais je n'arrive pas à le mettre par écrit.

Posté par
Pietrosella
re : dérivation 20-02-12 à 14:54

voicie ce que j'ai trouver pour la deuxième patie

2/a)
f(x)=-x3+9x2-18x+36

Posté par
hekla
re : dérivation 20-02-12 à 15:07

je vous ai dessiné la face du flacon vue de dessus  vous avez le côté de longueur 6 cm  le bouchon qui se trouve à x cm de chacun des côtés  
que vaut mon point d'interrogation ? vous obtenez la longueur du côté du carré . A partir de ceci il est simple d'avoir le volume d'un cube

Quant à la deuxième partie vous n'avez rien écrit hors le texte  la fonction est parfois notée f parfois F    il faut faire attention à la casse.

Posté par
Pietrosella
re : dérivation 20-02-12 à 15:29

désoler j'ai eu un bug

2/a)
voicie sa dérivée
-3x2+18x-18

d) selon le graphique le minimum de la courbe est -18

e) pour f(x)=31.25 la courbe n'admet aucune solution


et voicie le tableau pour la b) et c)

dérivation

Posté par
hekla
re : dérivation 20-02-12 à 17:54

vous avez oublié un élément capital votre fonction n'est définie que sur [0~;~3]
fonction dérivée d'accord
où avez-vous étudié le signe de f'(x) il faut d'ailleurs travailler avec les valeurs exactes

je ne suis pas d'accord avec votre tableau

Citation :
D) Pour quelle valeur de x cette fonction admet-elle un minimum sur [0 ; 3] ?
E) En utilisant le tableau de variation précédent, donner le nombre de solution de l'équation F(x)=31.25 dans l'intervalle [0 ; 3].
Donner  une valeur approchée à 10-1 près de ces deux solutions. (On pourra utiliser la calculatrice ou un logiciel de calcul formel.)

ne serait-ce pas un maximum ? on dit 2 solutions et vous trouvez qu'il n'y en a aucune n(y a -t-il pas une erreur d'énoncé

Posté par
hekla
re : dérivation 20-02-12 à 18:17

non il n'y a pas d'erreurs j'avais été un peu vite

dérivation

Posté par
Pietrosella
re : dérivation 21-02-12 à 14:45

bonjour,
mon tableau et ma courbe étaient faux à cause de ma calculatrice.
je reprend tout à 0 quand j'aurais fini je posterai mes résultats. ce soir ou demain

Posté par
Pietrosella
re : dérivation 22-02-12 à 17:27

bonjour,
voici les réponses de l'exercice que j'ai trouvé

1/a)
on a:
U(x)=EF3
U(x)=(6-2x)3
on développe:
U(x)=(6-2x)2(6-2x)
    =(36+2*6*-2x+4x2)(6-2x)
    =(36-24x+4x2)(6-2x)
    =216-72x-144x+48x2+24x2-8x3
en réduisant on obtient:
-8x3+72x2-216x+216

b)
(6-2x)3+AB3
=(6-2x)3+62(8-(6-2x)
=-8x3+72x2-216x+216+62(8-(6-2x)
=-8x3+72x2-216x+216+36(8-(6-2x))
=-8x3+72x2-216x+216+36(2+2x)
=-8x3+72x2-216x+216+72+72x
=-8x3+72x2-144x+288

2/a)
F(x)=-x3+9x2-18x+36
voila la dérivée:
F'(x)=-3x2+18x-18

b)
pour étudier le signe de F'(x)=0 on calcul le discriminant:
=b2-4ac
=182-4*-3*-18
=324-216
=108
=(63)2
Comme >0 il y a 2 solutions :
X'=-18-6√3/-6=3+√3
X''=-18+6√3/6=3-√3
La solution x'' appartient à l'intervalle [0 ;3]
Donc x=3-√31.3

c) voir a la fin de la page

d)
selon le graphique et le tableau de variation cette fonction admet un minimum de 25.6

e)
suivant le tableau de variation de l'équation F(x)=31.25 dans l'intervalle [0;3] admet 2 solutions.
d'après la calculatrice la valeur de ces 2 solutions sont 0.27 et 2.48.

3/a)
8(-x3+9x2-18x+36)
=-8x3+72x2-144x+288
donc V(x)=8F(x)

b)
volume minimum, Vm=25.6*8=204.8=205cm3
volume maximum, V=36*8=288cm3

c) par contre pour la 3/c) est ce que vous pouvez m'aider je n'y arrive pas
merci d'avance.

dérivation

Posté par
hekla
re : dérivation 22-02-12 à 20:11

Citation :
(6-2x)^3+AB^3
non ce n'est pas un cube c'est un parallélépipède rectangle ce n'est pas AB^3 ensuite oui



Citation :
Comme >0 il y a 2 solutions :
formulation à éviter  il est préférable d'écrire l'équation a 2 solutions ou le trinôme a deux racines. respectez les notations \alpha=3-\sqrt{3}\quad \beta=3+\sqrt{3}

au lieu de 1,3 il faut écrire 3-\sqrt{3}
étant décroissante sur ... puis croissante sur ...la fonction admet un minimum valant.... pour x=\dots (à compléter)

31,25 étant compris entre 25,6 et 36 il y a une solution entre 0 et \alpha \approx 0,31
31,25 étant compris entre 25,6 et 36 il y a une solution entre \alpha et 3 \approx 2,45
 \\
volume minimum 8\times 25,6\approx 204,8 volume max 36\times 8=288
250 ml est équivalent à 250cm^3 comme 250 est compris entre 204,8 et 288 c'est possible

résoudre v(x)=250 revient à résoudre f(x)=31.25 (on divise par 8)  solutions trouvées plus haut et pour le flacon il faut multiplier par 8

Posté par
Pietrosella
re : dérivation 22-02-12 à 21:06

ok, je revois tout ça, un grand MERCI pour tout, super sympa, à bientôt.

Posté par
Pietrosella
re : dérivation 29-02-12 à 11:31

bonjour,
est ce que vous pouvez me donnez plus d'indication s'il vous plait ?
merci d'avance



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