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Dérivation

Posté par
Samsco 02-04-20 à 15:22

Bonjour j'ai besoin d'aide pour ce petit exo

Soit la fonction définie sur R\{1} , par f(x)=\dfrac{x²+x+1}{x-1}
On note Cf  sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Montrer que Cf admet un centre de symétrie en un point d'abscisse 1

La fonction n'est pas définie en 1 donc f(1) n'existe ,comment je peux répondre à la question?

Posté par
carpediemre : Dérivation 02-04-20 à 15:26

salut

compare f(1 + x) et f(1 - x) pour x <> 0 ...

Posté par
Samscore : Dérivation 02-04-20 à 16:14

Pour x>0

f(1+x)=\dfrac{(1+x)²+1+x+1}{1+x-1}=\dfrac{(1+x)²+x+2}{x} \\ \\ f(1-x)=\dfrac{(1-x)²+1-x+1}{1-x-1}=\dfrac{(1-x)²-x+2}{-x}=-\dfrac{(1-x)²-x+2}{x} \\ \\ f(1+x)-f(1-x)=\dfrac{(1+x)²+x+2}{x}+\dfrac{(1-x)²-x+2}{x}=\dfrac{(1+x)²+x+2+(1-x)²-x+2}{x}=\dfrac{(1+x)²+(1-x)²+4}{x} \\ Pour x>0 \\ f(1+x)-f(1-x)>0 \iff f(1+x)>f(1-x)
\ \text{Pour}  x<0 , f(1+x)-f(1-x)<0 donc f(1+x) < f(1-x)

Posté par
Yzzre : Dérivation 02-04-20 à 16:20

Salut,

C'est plutôt f(1+x) + f(1-x) qu'il eût fallu calculer...

Posté par
Samscore : Dérivation 02-04-20 à 16:30

Pourquoi ?

Posté par
Yzzre : Dérivation 02-04-20 à 16:35

Fais un dessin, tu verras :
Cf admet un centre de symétrie en un point d'abscisse a équivaut à : [f(x+a) + f(x-a)]/2 = f(a)

Posté par
Yzzre : Dérivation 02-04-20 à 16:36

Oups !!!

Citation :
La fonction n'est pas définie en 1 donc f(1) n'existe pas

Posté par
alma78re : Dérivation 02-04-20 à 16:37

Bonjour,

si tu traces la fonction f(x) représentée par Cf dans un repère othonormé avec (0 ; 0) comme origine  tel que le dessin ci-dessous, tu peux intuiter que le point de coordonnées (1 ; 3) est centre de symétrie. L'abcisse est bien x=1 comme demandé dans le texte.

Il te faut démonter qu'en faisant un changement de repère avec comme nouvelle origine (1 ;3), tu obtiens une nouvelle fonction qui, elle, sera symétrique.

Dérivation

Posté par
carpediemre : Dérivation 02-04-20 à 16:52

Yzz @ 02-04-2020 à 16:20

Salut,

C'est plutôt f(1+x) + f(1-x) qu'il eût fallu calculer...
absolument pas !!!

par contre ce qu'il faut évidemment faire c'est développer !!! f(1 + x) et f(1 - x)

...

Posté par
Samscore : Dérivation 02-04-20 à 18:46

alma78 @ 02-04-2020 à 16:37

Bonjour,

si tu traces la fonction f(x) représentée par Cf dans un repère othonormé avec (0 ; 0) comme origine  tel que le dessin ci-dessous, tu peux intuiter que le point de coordonnées (1 ; 3) est centre de symétrie. L'abcisse est bien x=1 comme demandé dans le texte.

Il te faut démonter qu'en faisant un changement de repère avec comme nouvelle origine (1 ;3), tu obtiens une nouvelle fonction qui, elle, sera symétrique.

Dérivation

Comment je peux faire ça?

Posté par
alma78re : Dérivation 02-04-20 à 18:52

Bonsoir,
moi, j'ai utilisé excel. Mais toi, tu peux certainement le faire avec ta calculette.

Posté par
Samscore : Dérivation 02-04-20 à 18:54

carpediem @ 02-04-2020 à 16:52

Yzz @ 02-04-2020 à 16:20

Salut,

C'est plutôt f(1+x) + f(1-x) qu'il eût fallu calculer...
absolument pas !!!

par contre ce qu'il faut évidemment faire c'est développer !!! f(1 + x) et f(1 - x)

...


f(1+x)=\dfrac{(1+x)²+x+2}{x}=\dfrac{(1+2x+x²)+x+2}{x}=\dfrac{x²+3x+3}{x} \\ \\ f(1-h)=\dfrac{(1-x)²-x+2}{x}=\dfrac{(1-2x+x²)-x+2}{x}=\dfrac{x²-3x+3}{x} \\ \\

Posté par
Samscore : Dérivation 02-04-20 à 18:57

alma78 @ 02-04-2020 à 18:52

Bonsoir,
moi, j'ai utilisé excel. Mais toi, tu peux certainement le faire avec ta calculette.

Non je parlais de la démonstration

Posté par
carpediemre : Dérivation 02-04-20 à 19:04

le dénominateur de f(1 - x) est faux ... (enfin il manque un signe) ...

Posté par
alma78re : Dérivation 02-04-20 à 19:07

pour faire un changement de repère tu vas changer les coordonnées (x,y) en coordonnées (u,v).
Pour cela, tu vas poser u=x-1 et v=y-3.
Ainsi y= (x^2 + x +1)/(x-1) va se transformer en v = ??????
Je te laisse faire le calcul.

Ensuite, qu'observes tu sur cette nouvelle écriture si tu changes u en -u ?

Posté par
Samscore : Dérivation 02-04-20 à 19:50

carpediem @ 02-04-2020 à 19:04

le dénominateur de f(1 - x) est faux ... (enfin il manque un signe) ...


f(1+x)=\dfrac{(1+x)²+x+2}{x}=\dfrac{(1+2x+x²)+x+2}{x}=\dfrac{x²+3x+3}{x} \\ \\ f(1-h)=-\dfrac{(1-x)²-x+2}{x}=-\dfrac{(1-2x+x²)-x+2}{x}=-\dfrac{x²-3x+3}{x} \\

Posté par
Samscore : Dérivation 02-04-20 à 20:06

alma78 @ 02-04-2020 à 19:07

pour faire un changement de repère tu vas changer les coordonnées (x,y) en coordonnées (u,v).
Pour cela, tu vas poser u=x-1 et v=y-3.
Ainsi y= (x^2 + x +1)/(x-1) va se transformer en v = ??????
Je te laisse faire le calcul.

Ensuite, qu'observes tu sur cette nouvelle écriture si tu changes u en -u ?


v=y-3 \\ \\ v=\dfrac{x²+x+1}{x-1}-3=\dfrac{x²+x+1-3x+3}{x-1}=\dfrac{x²-2x+4}{x-1} \\ \\ g(x)=\dfrac{x²-2x+4}{x-1} \\

Posté par
carpediemre : Dérivation 02-04-20 à 20:26

Samsco @ 02-04-2020 à 19:50

carpediem @ 02-04-2020 à 19:04

le dénominateur de f(1 - x) est faux ... (enfin il manque un signe) ...


f(1+x)=\dfrac{(1+x)²+x+2}{x}=\dfrac{(1+2x+x²)+x+2}{x}=\dfrac{x²+3x+3}{x} \\ \\ f(1-{\red x)=-\dfrac{(1-x)²-x+2}{x}=-\dfrac{(1-2x+x²)-x+2}{x}=-\dfrac{x²-3x+3}{x} \\
ben maintenant il suffit d'additionner f(1 + x) + f(1 - x) ...

Posté par
Yzzre : Dérivation 02-04-20 à 20:28

Citation :
ben maintenant il suffit d'additionner f(1 + x) + f(1 - x) ...

Posté par
Samscore : Dérivation 02-04-20 à 20:30

f(1+x)-f(1-x)=\dfrac{x²+3x+3}{x}-\dfrac{x²-3x+3}{x}=\dfrac{x²+3x+3-x²+3x-3}{x}=6

Posté par
Samscore : Dérivation 02-04-20 à 20:33

Désolé
f(1+x)+f(1-x)=\dfrac{x²+3x+3}{x}-\dfrac{x²-3x+3}{x}=\dfrac{x²+3x+3-x²+3x-3}{x}=6

Posté par
carpediemre : Dérivation 02-04-20 à 20:34

non c'est f(1 + x) + f(1 - x) = 6

et alors on en déduit trivialement que f(1 - x) - 3 = -[f(1 + x) - 3]

ce qui prouve le résultat demandé ....

Posté par
Samscore : Dérivation 02-04-20 à 20:39

carpediem @ 02-04-2020 à 20:34

non c'est f(1 + x) + f(1 - x) = 6

et alors on en déduit trivialement que f(1 - x) - 3 = -[f(1 + x) - 3]

ce qui prouve le résultat demandé ....

D'accord,
Pour mais pourquoi f(1-x)-3

Posté par
carpediemre : Dérivation 02-04-20 à 20:43

un peu de sérieux !!! relis bien ce que j'ai écrit ...

Posté par
Samscore : Dérivation 02-04-20 à 20:47

carpediem @ 02-04-2020 à 20:43

un peu de sérieux !!! relis bien ce que j'ai écrit ...

Oui j'ai lu mais pour vous avez choisi "-3" et pas "-2" ou "-1" .....?

Posté par
carpediemre : Dérivation 03-04-20 à 12:23

notons M, N et I les points de coordonnées (1 + x, f(1 + x)), (1 - x, f(1 - x)) et (1, 3)

alors M et n sont des points de la courbe de f et f(1 - x) - 3 = -[f(1 + x) - 3] \iff \vec {IN} = - \vec {IM}

donc I est le centre de symétrie de la courbe de f ...

Posté par
Samscore : Dérivation 03-04-20 à 15:19

D'accord

Posté par
Samscore : Dérivation 03-04-20 à 15:31

alma78 @ 02-04-2020 à 19:07

pour faire un changement de repère tu vas changer les coordonnées (x,y) en coordonnées (u,v).
Pour cela, tu vas poser u=x-1 et v=y-3.
Ainsi y= (x^2 + x +1)/(x-1) va se transformer en v = ??????
Je te laisse faire le calcul.

Ensuite, qu'observes tu sur cette nouvelle écriture si tu changes u en -u ?[/quote
Je voudrais continuer cette méthode aussi

u=x-1 et v=y-3

v=\dfrac{x²+x+1}{x-1}-3=\dfrac{x²+x+1-3x+3}{x-1}=\dfrac{x²-2x+4}{x-1}

[Tex]g(x)=\dfrac{x²-2x+4}{x-1}

g(x-1)=\dfrac{(x-1)²-2(x-1)+4}{x-1-1}=\dfrac{x²-2x+1-2x+2+4}{x-2}=\dfrac{x²-4x+7}{x-2}

g(u)=\dfrac{u²-4u+7}{u-2}

g(-u)=\dfrac{u²+4u+7}{-u-2}[tex]

Posté par
Samscore : Dérivation 03-04-20 à 15:34

alma78 @ 02-04-2020 à 19:07

pour faire un changement de repère tu vas changer les coordonnées (x,y) en coordonnées (u,v).
Pour cela, tu vas poser u=x-1 et v=y-3.
Ainsi y= (x^2 + x +1)/(x-1) va se transformer en v = ??????
Je te laisse faire le calcul.

Ensuite, qu'observes tu sur cette nouvelle écriture si tu changes u en -u ?


Je voudrais continuer cette méthode aussi

u=x-1 et v=y-3

v=\dfrac{x²+x+1}{x-1}-3=\dfrac{x²+x+1-3x+3}{x-1}=\dfrac{x²-2x+4}{x-1}

g(x)=\dfrac{x²-2x+4}{x-1} \\ \\ g(x-1)=\dfrac{(x-1)²-2(x-1)+4}{x-1-1}=\dfrac{x²-2x+1-2x+2+4}{x-2}=\dfrac{x²-4x+7}{x-2} \\ \\ g(u)=\dfrac{u²-4u+7}{u-2} \\ \\ g(-u)=\dfrac{u²+4u+7}{-u-2}

Posté par
carpediemre : Dérivation 03-04-20 à 15:43

sauf que c'est tout faux

si y = \dfrac {x^2 + x + 1} {x - 1} alors il faut faire proprement le changement de variable :

x = 1 + u
y = v - 3

je montrerai ensuite une autre méthode basée sur ce changement de repère ...

Posté par
alma78re : Dérivation 03-04-20 à 15:52

Bonjour,

Avant le changement de variable, tu as y=f(x).
Après ton changement de variable, tu dois obtenir quelque chose du genre v=g(u).
Qu'obtiens-tu ?

Posté par
Samscore : Dérivation 03-04-20 à 15:52

x=1+u \\ y=v-3 \\ \\ v-3=\dfrac{(1+u)²+1+u+1}{1+x-1}=\dfrac{1+2u+u²+u+2}{x}=\dfrac{u²+3u+3}{u} \\ \\ v=\dfrac{u²+3u+3}{u}+3=\dfrac{u²+3u+3+3u}{u}=\dfrac{u²+6u+3}{u}

Posté par
carpediemre : Dérivation 03-04-20 à 15:59

pardon je me suis trompé c'est :

x = 1 + u
y = v + 3

Posté par
Samscore : Dérivation 03-04-20 à 16:02

x=1+u \\ y=v+3 \\ \\ v+3=\dfrac{(1+u)²+1+u+1}{1+x-1}=\dfrac{1+2u+u²+u+2}{x}=\dfrac{u²+3u+3}{u} \\ \\ v=\dfrac{u²+3u+3}{u}-3=\dfrac{u²+3u+3-3u}{u}=\dfrac{u²+3}{u}

Posté par
alma78re : Dérivation 03-04-20 à 16:12

Ah, voilà un résultat qui me plait !

Maintenant que remarques tu si tu change u en -u ?
Que devient v ?

Posté par
Samscore : Dérivation 03-04-20 à 16:16

g(u)=\dfrac{u²+3}{u} \\ \\ g(-u)=\dfrac{u²+3}{-u}=-\dfrac{u²+3}{u} \\ \\ g(-u)=-g(u)

Donc Cf est symétrique par rapport au point A(1 ; 3)

Comment vous faites pour savoir que :
v=y-3 et u=x-1

u=x-1 peut être parce que l'énoncé précise au point d'abscisse 1

Posté par
alma78re : Dérivation 03-04-20 à 16:25

Grâce au dessin que j'ai fait, j'ai intuité que (1 ; 3) était centre de symétrie.
Il restait à le démonter.
En faisant le changement de repère. Le point O de coordonnées (0 ; 0) devient le point O' de coordonnées (1 ; 3).
Donc x devient u (égal à x-1) et y devient v (égal à y-3).
Est-ce plus clair ?

Posté par
carpediemre : Dérivation 03-04-20 à 17:02

x = 1 est une "valeur interdite" donc géométriquement une barrière infranchissable

donc f(1 + x) et f(1 - x) suffit en interprétant géométriquement le résultat ...

maintenant il y a un théorème général qui dit que I(a, b) est centre de symétrie d'une courbe <=> f(a - x) + f(a + x) = 2b

ou encore géométriquement I est le milieu du segment [MN] (voir à 12h23)

ensuite on peut l'apprendre "par cœur" mais on se le conforte et on l'apprend par l'expérience, l'effort, la pratique et la réflexion !!!

Posté par
Samscore : Dérivation 03-04-20 à 19:01

D'accord merci pour tout

Posté par
alma78re : Dérivation 03-04-20 à 19:36

Je t'en prie.

Posté par
carpediemre : Dérivation 03-04-20 à 23:21

de rien


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