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Dérivation

Posté par
Samsco 11-04-20 à 09:59

Bonjour ,j'ai besoin d'aide svp

Exercice :

On considére la figure suivante (M est un point de [BC]):
Trouver la valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle hachuré est optimale.

AC=8 , AB=6 donc BC=10
Je ne sais pas par où commencer

Dérivation

Posté par
littleguyre : Dérivation 11-04-20 à 10:02

Bonjour,

Commence par exprimer l'aire du rectangle en question en fonction de x.

Posté par
heklare : Dérivation 11-04-20 à 10:04

Bonjour

On va avoir besoin de calculer l'aire du rectangle  donc d'avoir les longueurs des côtés.
On connaît x  Pour l'autre en appelant  N  le projeté de M sur (AB)  il faut calculer MN.
Un petit peu de Thalès et c'est bon.

Posté par
heklare : Dérivation 11-04-20 à 10:05

Bonjour littleguy

Trop tard.

Posté par
littleguyre : Dérivation 11-04-20 à 10:06

>  Samsco

Et il n'est pas bon de traiter simultanément deux exercices...

Posté par
Samscore : Dérivation 11-04-20 à 10:06

Comment expremier la largeur en fonction de x ?

Posté par
littleguyre : Dérivation 11-04-20 à 10:09

Relis ce qu'a écrit hekla

Je dois partir.

Posté par
Samscore : Dérivation 11-04-20 à 10:09

littleguy @ 11-04-2020 à 10:06

>  Samsco

Et il n'est pas bon de traiter simultanément deux exercices...

L'autre n'est pas long!

Posté par
heklare : Dérivation 11-04-20 à 10:12

Je reste alors.

Posté par
Samscore : Dérivation 11-04-20 à 10:16

hekla @ 11-04-2020 à 10:04

Bonjour

On va avoir besoin de calculer l'aire du rectangle  donc d'avoir les longueurs des côtés.
On connaît x  Pour l'autre en appelant  N  le projeté de M sur (AB)  il faut calculer MN.
Un petit peu de Thalès et c'est bon.

Quelle triangle dois je considérer?

Posté par
heklare : Dérivation 11-04-20 à 10:19

Faites des propositions

Si vous voulez MN il n'y a guère le choix

Posté par
Samscore : Dérivation 11-04-20 à 10:29

J'ai trouvé

MN=\sqrt{(6-x)(x-\frac{13}{3})}

Posté par
heklare : Dérivation 11-04-20 à 10:36

?????

BN= 6-x

\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{MN}{CA}

Posté par
Samscore : Dérivation 11-04-20 à 10:42

J'ai fait

\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{BM}{BC}
J'ai trouvé BM
Puis j'ai déterminé MN avec Pythagore dans le triangle BMN

Posté par
heklare : Dérivation 11-04-20 à 10:51

Pourquoi ne pas calculer directement MN  au lieu de passer par BM

\dfrac{6-x}{6}=\dfrac{MN}{8}.  

Vous vous êtes trompé car il n'y a pas de racine carrée

Posté par
Samscore : Dérivation 11-04-20 à 10:58

MN=\dfrac{8(6-x)}{6}

Posté par
Samscore : Dérivation 11-04-20 à 10:59

MN=\dfrac{8(6-x)}{6}

Posté par
heklare : Dérivation 11-04-20 à 11:15

Oui sauf que \dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}

Vous avez donc tout pour calculer l'aire du rectangle et trouver le maximum de la fonction.

Votre méthode de départ

\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{BM}{BC}

donc BM=\dfrac{BC\times \BN}{BA}=\dfrac{5(6-x)}{3}

BM^2=BN^2+MN^2 donc MN^2=BM^2-BN^2=\dfrac{25}{9}(6-x)^2-(6-x)^2

=\left(\dfrac{25}{9}\right)(6-x)^2=\dfrac{16}{9}(6-x)^2 et en prenant la racine carrée positive car c'est une longueur

MN=\dfrac{4}{3} (6-x)  Cela était possible mais bien plus long sans compter qu'ainsi on augmente les risques d'erreurs

Posté par
Samscore : Dérivation 11-04-20 à 11:16

hekla @ 11-04-2020 à 10:51

Pourquoi ne pas calculer directement MN  au lieu de passer par BM

\dfrac{6-x}{6}=\dfrac{MN}{8}.  

Vous vous êtes trompé car il n'y a pas de racine carrée


Oui!

\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{BM}{BC} \\ \\ \dfrac{6-x}{6}=\dfrac{BM}{10}\iff BM=\dfrac{10(6-x)}{6} \\
Avec Pythagore :

MN²+MB²=BM² \\ \\ MN²+(6-x)²=(\frac{10(6-x)}{6})² \\ \\ MN²=\dfrac{25}{9}(6-x)²-(6-x)² \\ \\ MN=\sqrt{(6-x)²(\frac{25}{9}-1)} \\ \\ MN=\dfrac{4}{3}(6-x)

Posté par
Samscore : Dérivation 11-04-20 à 11:18

hekla @ 11-04-2020 à 11:15

Oui sauf que \dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}

Vous avez donc tout pour calculer l'aire du rectangle et trouver le maximum de la fonction.

Votre méthode de départ

\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{BM}{BC}

donc BM=\dfrac{BC\times \BN}{BA}=\dfrac{5(6-x)}{3}

BM^2=BN^2+MN^2 donc MN^2=BM^2-BN^2=\dfrac{25}{9}(6-x)^2-(6-x)^2

=\left(\dfrac{25}{9}\right)(6-x)^2=\dfrac{16}{9}(6-x)^2 et en prenant la racine carrée positive car c'est une longueur

MN=\dfrac{4}{3} (6-x)  Cela était possible mais bien plus long sans compter qu'ainsi on augmente les risques d'erreurs

J'avais pas vu!

Posté par
heklare : Dérivation 11-04-20 à 11:33

Ne citez pas  Il suffisait de dire  que vous n'aviez pas vu le message de 11 :18

Aire du rectangle ?

Posté par
Samscore : Dérivation 11-04-20 à 11:38

Bon, je continue
Calcul de l'aire du rectangle

A=L×l \\ A=\dfrac{4}{3}x(6-x) \\ \\ A'(x)=\dfrac{4}{3}[(6-x)-x] \\ \\ A'(x)=0 \iff 6-2x=0 \iff x=3 \\ \\
Le maximum de la fonction est 4 d'abscisse 3
Donc L'aire du rectangle est optimale si x=3

Posté par
heklare : Dérivation 11-04-20 à 11:42

Vous avez montré que la dérivée s'annulait pour x= 3  mais c'est insuffisant pour dire que c'est un maximum

exemple x\mapsto x^3 la dérivée s'annule bien en 0 et pourtant ce n'est pas un extremum

Posté par
Samscore : Dérivation 11-04-20 à 11:49

Non! J'ai fait le tableau de variation mais je n'arrive pas à prendre de photo (téléphone trop chargé).

A est croissante sur [0;3] et décroissante sur [3 ; +\infty[

Posté par
heklare : Dérivation 11-04-20 à 12:01

D'accord  

La dérivée étant une fonction affine  a<0 elle est positive avant 3 et négative après

La dérivée s'annulant en changeant de signe en 3 la fonction admet donc un maximum en 3

L'aire du rectangle  est maximale lorsque x=3  son aire vaut  12 et les dimensions du rectangle sont alors 3 et 4.

Posté par
Samscore : Dérivation 12-04-20 à 10:22

Oui . Ce que j'ai fait est correct ?

Posté par
heklare : Dérivation 12-04-20 à 10:33

Oui  J'avais bien commencé par  « d'accord »

Ce que j'ai écrit permettait de montrer que l'on avait bien un maximum en 3 sans pour autant prendre une photo. Puis j'ai mis quelques compléments sur la longueur des côtés.  La valeur du maximum est à donner.

Posté par
Samscore : Dérivation 12-04-20 à 12:28

Ok merci !

Posté par
heklare : Dérivation 12-04-20 à 13:33

De rien


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