bonjour

trace la courbe de la fonction f(x) = -x²+4x+7
et celle de sa dérivée.

puis relis ce que ton professeur a dit.

Bonjour

Si on atteint le sommet d'une montagne  cela signifie que pour l'atteindre il vous faudra grimper   et descendre pour le quitter ;

Pour que la fonction dérivable soit strictement croissante la dérivée doit être strictement  positive  et strictement décroissante la dérivée soit strictement  négative  
Pour passer du strictement positif à strictement négatif  on passe obligatoirement par 0

Pour le minimum  on descend d'abord et on monte ensuite

Les extrema (minimum ou maximum) sont donc à rechercher parmi les points où la dérivée s'annule

Bonjour, oui si on est devant un maximum c'est que juste avant a elle grimpe (donc f'(x)>0 et juste après elle descend (donc f'(x)<0). si elle est dérivable en x=a alors f'(a)=0 (mais elle pourrait être continue et pas dérivable c.a;d avoir un point anguleux).

Bonjour hekla, je suis à la traîne comme toujours.
l'analogie de la montagne est bien trouvée, c'est vrai que c'est parlant.

Bonjour Glapion

Votre réponse envisage un point anguleux  ce que je n'avais pas fait

Il a dû oublier de nous dire que dans les hypothèses il y a sûrement le fait que la fonction est dérivable sur l'intervalle.

En fait je n'ai pas compris la signification de" x" et de "a" dans l'explication du prof.

J'avais bien comrpis la propriété  qui si la dérivée f' est strictement positive sur I  alors  f est strictement croissante sur I et si la dérivée f' est strictement négative sur I  alors  f est strictement décroissante sur I.

Vous avez une fonction définie et dérivable sur un intervalle I

Dire que admet un maximum en

c'est dire que pour tout   pour tout et

Donc la réponse est :
Si f admet un maximum en a alors la dérivée est positive avant ce point (a) puis négative après .
Par contre si f admet un minimum en a alors la dérivée est negative avant ce point (a) puis positive après .

C'est bon ou pas ?

Je commencerais par dire que la dérivée est nulle en a  et après ce que vous avez écrit  en ajoutant strictement