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dérivation
Bonjour,
J'aurais savoir si vous pouvez m'aider à résoudre ce problème:
l'unité est le décimètre (dm)
On dispose une feuille de carton rectangulaire, de 6dm de long et 4dm de large,
avec laquelle on veut fabriquer une boîte ayant la forme d'un parallélépipède
rectangle. Pour cela, on découpe dans la feuille quatre carrés égaux, aux quatre
coins (voir la figure), puis on plie le carton suivant les segments [AB], [BC],
[CD] et [DA]. On appelle x la mesure en dm de côté de chaque carré découpé.
On notera V (x) le volume en dm^3 de la boîte que l'on a ainsi obtenue. L'objectif de ce problème est de
déterminer les dimensions de la boîte de telle sorte que son volume soit maximal
1) Montrer que l'ensemble de définition, noté Dv , de la fonction V est
Dv= [0; 2].
2) Démontrer que ∀ x∈ Dv, V(x) = 4x^3− 20x^2+ 24 x
3) Pour cette question, on cherche à déterminer le volume maximal de la boîte s'il existe.
a) Déterminer V ′ la fonction dérivée de V sur l'ensemble Dv .
b) Démontrer que pour tout réel x, 3x^2 − 10x+ 6 = 3 (x-5/3)^2 −7/3 ,puis que pour tout x ∈ Dv, V'(x)=0 ⇔(x-5/3)^2=7/9
c) En déduire les variations de la fonction V sur Dv
d) Déterminer alors les dimensions de la boîte, ainsi que le volume maximal. On donnera les dimensions au mm près et le volume au mm^3 près.
Ce que j'ai fais:
1) AB=CD=(6-2x) , BC=DA=(4-2x) , le volume d'un parallélépipède est: LxlxH ,donc d'après notre boîte L=AB=CD=(6-2x),l=BC=DA=(4-2x) et H=x d'ou :
(6-2x)(4-2x)x .
donc l'ensemble de définition Dv est :
(6-2x)(4-2x)x=0 alors on a 6-2x=0 4-2x=0 x=0
x=3 x=2
les dimensions et le volume doivent être positive donc le domaine de définition Dv=[0;2] car entre 2 et 3 nous aurons des valeurs négatives .
2)(6-2x)(4-2x)x=(24-12x-8x+4x^2)x=4x^3-20x^2-24x
donc pour ∀ x∈ Dv, V(x) = 4x^3− 20x^2+ 24 x
3)a)
V'=4x3x^2-20x2x+1x24
=12x^2-40x+24
b)
3 (x-5/3)^2 −7/3=3(x^2-5/3x-5/3x+25/9)-7/3=3x^2-15/3x-15/3x+75/9-7/3
=3x^2-30/3x+75/9-21/9=3x^2-30/3x+54/9=3x^2-10x+6
V'(x)=0 ⇔(x-5/3)^2=7/9
x-5/3=+/-
7/3
deux solutions x1=-7+5/3 x2=7+5/3
c) je coince ??
d)on voit l'extremum de la courbe pour x=0.785 y=8.45 donc pour une valeur de 0.785dm découpe (x) j'aurais un volume de boîte de 8.45dm^3 ou pour 78.5mm de découpe j'aurais un volume maximal de la boîte de 8 450 000 mm^3.
Merci pour votre retour.
Regards,PH12.
Bonjour,
Tu traites 2) dans 1).
Il suffit de dire (ou plutôt d'écrire) que les dimensions doivent être positives :
x 
0
6-2x 0
4-2x 0
Puis en déduire les conditions qui donnent 0 
x 2.
La dérivée est bonne.
Je te conseille de la factoriser pour étudier son signe.
Attention aux parenthèses nécessaires pour les fractions écrites en ligne :
x1 = (5-7)/3
x2 = (5+7)/3
V'(x) = 4(3x2-10x+6)
Il faut étudier le signe de V'(x).
Je ne sais pas ce que tu connais sur les équations de degré 2 et le signe d'un polynôme de degré 2.
Sylvieg
Salut,
Pour c) c'est ne pas plutôt étude du signe de V(x)=(6-2x)(4-2x)x=4x^3-20x^2+24x au lieu de V'(x)?
Merci dans l'attente de ta réponse .
Sylvieg
si il faut par contre étudier la variation de V'(x)=12x^2-40x+24 on cherche le discriminant 
=b^2-4ac =(-40)^2-(4x12x24)=-992 ,<0 donc la fonction dérivée V'(x) n'admet pas de solution réelle .
Est ce OK?
Merci.
Cherche dans ton cours comment on trouve le sens de variation d'une fonction à partir du signe de sa dérivée.
V'(x) = 4(3x2-10x+6) ; et tu as résolu V'(x) = 0 dans 3)b).
Ton calcul de à 23h22 est faux et inutile puisque l'équation V'(x) = 0 est déjà résolue.
Sylvieg
Salut,
merci pour ton retour j'ai effectué le tableau de variation de la dérivée et de la fonction ce qui m'a permis d'en déduire la longueur x et le volume maximal de la boîte:
x=0.785 dm V(x)=8.45 dm^3
=78.5 mm = 8450000 mm^3
Merci beaucoup et à bientôt .
Regards,PH12.
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