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dérivation
Bonjour,
Je souhaiterais avoir de l'aide sur ce sujet ,car je ne sais pas par ou commencer :
On souhaite raccorder un tronçon de route rectiligne [CD) à un autre tronçon rectiligne [AB), un tronçon de route parabolique entre A et C, de sorte à ce que ce raccordement se fasse en douceur pour les voitures, c'est-à- dire qu'il n'y ai pas de « cassure » entre les différents tronçons. On modélise la situation par le schéma suivant :
Déterminer l'expression algébrique de la fonction qui permet de définir le tronçon parabolique entre A et C. On rappelle que l'expression algébrique d'un tel tronçon (parabolique) est de la forme T(x) = ax^2 + bx + c
Je vois très bien sur la figure: que la droite qui passe par AB est tangente en A(10;10) de fonction f(x)=x à la parabole de la forme t(x)=ax^2+bx+c et tangente aussi en C(0;5) à la droite passant par CD de fonction g(x)=5 .
Il faut que je trouve a,b,c mais je ne sais pas comment faire .Pouvez-vous m'aider svp ?
PH12.
* Modération > Image recadrée, pour être moins encombrante 
*
Salut,
Tu as T(x) = ax² + bx + c , et on cherche a, b et c.
Tu peux lire sur le graphique les valeurs que doivent prendre T(0) et T(10).
Ensuite, précise tes histoires de "tangentes" : quel doit être le coefficient directeur de la tangente à la courbe de T en 0 ? et 10 ?
tout à fait
et puisque tu connais les coordonnées du sommet, avec la forme canonique tu peux facilement retrouver l'expression de ta fonction
Yzz
salut,
T(0)=5 coordonnées du point C veut dire que quand x=0 ax^2+bx+c=5 donc c=5
T(10)= 10 coodonnées du pointA -------------------------x=10 100a+10b+5=10
100a+10b-5=0
Je ne sais pas si c'est bon.
en l'absence de Yzz.
tu peux faire aussi de cette façon, mais pour le moment il te manque une équation.
il te reste 2 inconnues : a et b; donc il te faut 2 équations.
100a+10b = 5 ---- 1ère équation
pour la seconde, utilise la dérivée (relis la dernière ligne du message de Yzz)
PH12
coefficient directeur f(x)=x a=1 et pour g(x)=5 a=0 ?
je ne comprends pas ce message.
tu expliques pour que je puisse t'aider?
PH12
x=-b/2a calcul de l'extremum point C (0;5) d'où -b/2a=0
utiliser l'extremum est une autre façon de résoudre l'exercice.
puisque tu es parti sur les tangentes, je te propose de terminer avec.
on pourra faire avec l'extremum ensuite, et tu choisiras la méthode que tu préfères recopier sur ta copie.
PH12
x=-b/2a calcul de l'extremum point C (0;5) d'où -b/2a=0
... oups, j'ai lu trop vite, je reprends.
-b/2a=0 : oui tu peux poser cette équation, et tu déduis immédiatement que b = ?
PH12
je crois que j'ai trouvé: 100a+10b=5
-b/2a=0 
b=0 et 2a
0
je remplace dans la première équation b par 0 donc 100a+0=5 d'où a=5/100=1/20
je peux en déduire l'équation de la parabole T(x)=1/20x^2+5 a=1/20,b=0,c=5
Est ce bien cela et merci pour tes réponses.
Regards,PH12.
c'est exact.
autre façon de trouver le résultat.
C(0;5) est le sommet de la parabole, donc 
=0 et 
=5.
si tu as la formule canonique dans le cours, tu remplaces.
puis tu utilises le point A pour trouver le coefficient a.
Bonjour,
une remarque en passant :
sommet en C => 2 équations (passe par C, et tangente horizontale)
passe par A et tangente à la droite (AB) => 2 équations
total 4 équations, pour 3 inconnues seulement !!
ici on a utilisé 3 équations / conditions seulement :
- passe par C (c = 5)
- passe par A (100a+10b=5)
- tangente horizontale en C (-b/a, ou forme canonique)
RIEN ne prouve que la tangente en A est la droite (AB)
donc :
il est nécessaire de vérifier que cette 4ème condition est aussi satisfaite
(en bref les exigences de l'énoncé sont un coup de bol si ça marche)
ce que tu as fait est juste
mais l'énoncé dit :
qu'il n'y ai pas de « cassure » entre les différents tronçon
pas de cassure entre [CD] et la parabole, ça veut dire que C est sur la parabole et pas à coté et que la tangente en C à la parabole est la droite (CD)
ça c'est fait. (c = 5, et -b/(2a) = 0)
pas de cassure entre la parabole et [AB] ça veut dire :
A est sur la parabole, ça c'est fait : 100a+10b=5
ça suffit pour déterminer la parabole puisqu'on a les valeurs de a, b, et c
mais pas de cassure entre la parabole et [AB] ça veut dire :
A est sur la parabole, ça c'est fait
ET la tangente à la parabole en A est la droite (AB)
il faut donc maintenant vérifier que c'est vrai (ou pas, ...)
que la tangente à la parabole d'équation y = 1/20x² + 5 en le point d'abscisse 10 a le bon coefficient directeur, égal à celui de la droite (AB)
se reporter à son cours pour le coefficient directeur d'une tangente ...
vérifier que (AB) est bien tangente (exactement, pas "à peu près à l'oeil"),
ce qui ne serait pas le cas par exemple d'une droite AB' "légèrement différente", de coefficient directeur différent : il y aurait un "angle", une "cassure" au point A
mathafou
Salut,
Je te remercie Mathafou et également caritas pour votre aide et votre soutien ainsi que tes dernières explications .
Merci et à bientôt.
Regards,PH12.
et as tu effectué
vérifier que c'est vrai (ou pas, ...)
que la tangente à la parabole d'équation y = 1/20x² + 5 en le point d'abscisse 10 a le bon coefficient directeur, égal à celui de la droite (AB)
mathafou
Salut,
On peut dire que la dérivée de T(x) =1/20x2 +5 notée T'(x)=2/20x =1/10x et la dérivée de f(x)=x ( droite AB) notée f'(x)=1 (= a coefficient directeur).
Prenons l'abscisse 10 du point A appartenant à la dérivée de T'(x) et f'(x) on peut calculer :
T'(10)= 10/10 = 1 et f'(10)=1 et aussi le coefficient directeur .
Donc les deux dérivées de 2 fonctions différentes d'un point A d'abscisse 10 ont la même ordonnée 1 qui est aussi le coefficient directeur a .
Est-ce exact ?
Merci pour ta réponse.
Regards,PH12.
calculs OK
la rédaction ... hum
"Prenons l'abscisse 10 du point A appartenant à la dérivée de T'(x)"
ne veut rien dire
la valeur de la dérivée T'(x) au point A d'abscisse 10 est T'(10)=1, c'est le coefficient directeur de la tangente en A
d'autre part la droite (AB) a pour coefficient directeur (yB-yA)/(xB-xA) = 1
(totalement inutile de faire intervenir l'équation de cette droite ni sa dérivée !!)
ces deux coefficient directeurs étant égaux, la droite (AB) est la tangente en A à la courbe (même coefficients directeurs et un point A commun)
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