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Dérivation

Posté par
Albanmaths2
05-01-22 à 15:15

Bonjour voici un exercice pour lequel j'aimerais avoir une correction car je ne sais pas si il est juste.

Dans une entreprise fabriquant du sucre de canne, le coût total de production (en euros) en fonction de la quantité produite q (en tonnes) peut être modélisé par la fonction C définie pour tout q E [0 ; 10] par C(q) = q^3 - 6q² + 24q + 100.
Calculer C(0). Interpréter le résultat.
C(0)=100, cela signifie que sans même avoir produit une tonne le cout de production est de 100€

En économie, on appelle coût moyen le quotient du coût total par la quantité produite, et coût marginal le coût de fabrication pour une unité supplémentaire.

2. Déterminer le coût moyen pour 8 tonnes de sucre produit.
C(8)=420€ Cmoyen= 430/8=52,5 €


3. Le coût marginal est assimilé à la dérivée du coût total. Déterminer le coût marginal lorsque l'on produit 9 tonnes de sucre.
C'(q)= 3q^2—12q+24, or C'(9)=Cm(9) donc Cm(9)= 159€

4. a. Vérifier que, Vq E ]0 ; 10], l'équation C(q)/q = C'(q) est équivalente à l'équation 2q³ - 6q^2 - 100 = 0.
J'ai développé et c'est équivalent

4b. Vérifier que, pour tout q E ]0; 10], 2q^3 - 6q^2 - 100 = 2(q - 5)(q²+ 2q + 10), puis résoudre l'équation 2q^3 - 6q^2 - 100 = 0 dans l'intervalle ]0; 10].
J'ai vérifié c'est équivalent. La solution de l'équation est q=5

c. Modéliser : Pour quelle quantité de sucre produit le coût moyen est-il égal au coût marginal ?

Coût marginal = Coût moyen
C'(q)=C(q)/q
Donc en résolvant l'équation j'ai trouvé pour 5 tonnes le cout marginal est égal au cout de production.

Merci par avance !

Posté par
hekla
re : Dérivation 05-01-22 à 15:51

Bonjour

D'accord

question 4 b il faudrait peut-être dire que le trinôme n'a pas de solution

donc l'équation n'a qu'une solution dans \R  et comme 5 \in]0~;~10] une seule aussi dans cet intervalle

À la question 4 on a montré que \dfrac{c(q)}{q}=c'(q) pour q=5

En produisant 5 tonnes de sucre le coût marginal est égal au coût moyen

Posté par
Albanmaths2
re : Dérivation 05-01-22 à 16:05

Ok super merci encore pour votre correction !

Posté par
hekla
re : Dérivation 05-01-22 à 16:14

De rien



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