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dérivation

Posté par
louis222
23-12-22 à 15:54

Bonjour,
j'ai un doute et j'ai besoin de vos explications claires s'il vous plaît

ABCD est carré de coté 4cm
Pour tout point M de [AB], on nomme I le point d'intersection de [DM] et [AC], x la longueur AM, A(x) l'aire totale des deux triangles AMI et DIC

1) calculer A(o) et A(4) ( je suis déjà coincé ici) sachant que x = AM et A(x) est l'aire totale de deux triangles AMI et DIC. Ce que je comprends pas c'est que je ne vois pas en quoi le triangle DIC est la moitié du carré dont l'aire est 16cm^2 ( 4*4)

2) Soit h la hauteur issue de I dans le triangle AMI. Montrer que (h)/(4-h) = (x)/(x+4) puis que h = (4x)/(x+4)

3) Montrer que A(x) = (2(x^2 + 16))/(x+4) sur [0;4].

4) Étudier les variations de
la fonction À et en déduire la position du point M assurant une aire totale minimale.

Je vous remercie d'avance

Posté par
louis222
re : dérivation 23-12-22 à 15:54

Je suis navrée si vous voyez pas l'image je n'arrive pas

Posté par
mathafou Moderateur
re : dérivation 23-12-22 à 16:04

Bonjour,

l'image se joint comme c'est décrit dans

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?


(utilisation du bouton img etc)

pas grave car la description est parfaitement claire.

en tout cas A(0) c'est pour x = 0 c'est à dire lorsque M est placé en A exactement
et donc I est aussi en A ...

de même A(4) : x = 4 et donc M est en ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : dérivation 23-12-22 à 16:13

animation :

dérivation

Posté par
louis222
re : dérivation 23-12-22 à 16:18

Donc le point M est placé en B. Par conséquent, cela fait la moitié du carré. Est ce bien ?

Posté par
louis222
re : dérivation 23-12-22 à 16:19

Je comprends mieux
merci beaucoup monsieur

Posté par
mathafou Moderateur
re : dérivation 23-12-22 à 16:25

oui, lorsque M est en A (x = 0) l'aire totale est bien la moitié du carré

et lorsque M est en B ( x=4) aussi. (deux quarts du carré)

pour la 2 c'est avec Thalès et proportions que tout s'explique
je mets des noms de points :

dérivation

PS : je dois quitter un moment, d'autres peuvent intervenir entre temps

Posté par
louis222
re : dérivation 23-12-22 à 16:32

D'accord
merci beaucoup monsieur

Posté par
mathafou Moderateur
re : dérivation 23-12-22 à 17:59

de retour, au cas où...

Posté par
mathafou Moderateur
re : dérivation 23-12-22 à 19:53

nota : as tu remarqué que l'énoncé était faux (tout au moins sa copie ici) ?
Montrer que (h)/(4-h) = (x)/(x+4) c'est faux
puis que h = (4x)/(x+4) oui, c'est bon

Posté par
louis222
re : dérivation 23-12-22 à 20:58

En effet, vous avez raison je me suis trompé. Merci pour votre remarque.
Effectivement on demande de montrer que (h)/(4-h) = (x)/(4) et non
(x)/(x+4).

D'ailleurs je travaille sur cette question. Mais mon prof n'aimerait pas que j'ajoute des points dans le dessin. Il y a seulement les points D, C, A, B et M et I (le point d'intersection).


Je pense que 4-h = DA (On m'a dit que 4-h = AM mais je ne vois pas ?) et h me pose problème car seul le point I est donné et il n'y a pas de segment. (je ne pense pas avoir le droit d'inventer des points)

Posté par
louis222
re : dérivation 23-12-22 à 22:13

C'est bon  j'ai trouvé h = AM et 4-h = DC puis AM = x et DC = 4 donc (x)/(4)

Merci pour votre aide

Posté par
louis222
re : dérivation 24-12-22 à 00:29

Pour la question 4, c'est trop compliqué de dériver. Je pense que je suis pas les étapes
Pouvez vous me donner des étapes à faire ?

Merci beaucoup.

Posté par
sanantonio312
re : dérivation 24-12-22 à 10:23

Bonjour,
Juste de passage et en attendant le retour de mathafou que je salue, le calcul de la dérivée n'est pas si compliqué à faire.
A(x) est de la forme u(x)/v(x) que tu dois savoir dériver.
Et c'est le signe de A'(x) qui t'intéresse.

Posté par
mathafou Moderateur
re : dérivation 24-12-22 à 11:18

la question 2 n'est pas traitée correctement
d'ailleurs tu prétends h = AM et x = AM donc h = x ?? c'est absurde

l'ajout de points pour faire apparaitre effectivement les hauteurs IH = h et IK = 4-h (car HK = 4) est obligatoire ...
(sinon on ne sait pas ce que sont "les hauteurs")

tu ne dis rien de la question 3, je suppose que tu as fait le calcul correctement à partir des formules de la 2 ...
à condition de bien comprendre que h est la hauteur de IAM et que x = AM en est la base
et que pour ICD la hauteur est 4-h et la base CD

quant à la 4 c'est comme a dit sanantonio312
vas y
u = ?? donc u' = ??
v = ?? d,nc v' = ??
et (u/v) ' = ?? (cours)
ce n'est pas un calcul plus compliqué que celui de la 3 !

Posté par
louis222
re : dérivation 24-12-22 à 12:33

Bonjour,

pour le 2) h la hauteur est issue de I dans le triangle AMI mais la hauteur du triangle DIC est aussi issue de I. donc je peux supposer que la hauteur issue de I dans le triangle DIC mesure 4-h. 4 étant la mesure en cm de la hauteur complète et la soustraction de la hauteur du triangle AMI donne la hauteur du triangle DIC. Alors AM/DC (sachant que x la longueur  AM et DC mesure 4cm) donc x/4. Je n'ai pas insinué que x = hauteur et dc = 4-h. C'est vrai je l'ai mal interprété.

pour le 3) je l'ai déjà fait. J'ai calculé le triangle AMI et DIC puis j'ai additionné leur résultat ( Aire du triangle AMI + Aire du triangle DIC) . J'ai obtenu le résultat attendu.

pour le 4) je vais le refaire

Merci beaucoup

Posté par
mathafou Moderateur
re : dérivation 24-12-22 à 14:27

"Je n'ai pas insinué que"
non, tu l'as explicitement écrit

louis222 @ 23-12-2022 à 22:13

C'est bon j'ai trouvé h = AM et 4-h = DC puis AM = x et DC = 4 donc (x)/(4)



maintenant (@ 12:33) c'est beaucoup plus correct !
même sans le dessiner explicitement (avec des noms de points) tu "vois" bien mieux que les hauteurs sont bien là où elles sont et valent bien h et 4-h
(et la hauteur totale est 4 parce que CD // AB et donc ces deux hauteurs sont alignées)
puis sans le dire (ce serait mieux en le disant) tu utilises que les deux triangles sont semblables (alias Thalès ou proportions) et que les hauteurs sont donc dans le même rapport que les bases
rapport des hauteurs h/(4-h)
rapport des bases AM/CD = x/4
mais bien sûr ce n'est pas parce que h/(4-h) est égal à x/4 que h serait égal à AM et que 4-h serait égal à CD !!
ça c'est totalement faux (@ 23-12-2022 à 22:13)

Posté par
louis222
re : dérivation 24-12-22 à 15:02

Ah oui merci beaucoup, j'avais du mal à l'expliciter. Excusez moi mais je ne comprends pas bien "dans le même rapport" qu'est ce que cela veut signifie en maths ? J'ai dû oublier ça.

pour le 4) je l'ai fait mais pouvez vous me le confirmer ? j'ai dérivé A(x) le résultat (2(x^2+8x-16))/((x+4)^2). Pour trouver les racines j'ai appliqué le second degré et j'ai trouvé 1,7 et -9,7. Puis j'ai fait de même pour x+4 = 0 => x=-4.

Comme 2 est positif donc 2>0
Tableau de variation
x.                           -infini       -9,7         -4        1,7.        +infini

2.                                      +.                 +.          +.               +      

x^2+8x-16                 +.         0      -           -     0          +

x+4.                                 -                    -           +.               +

A'(x)                                 -          0       +.          -    0         +


Sur 0;4 donc 1, 7 est inclus dans l'intervalle


x                0.                       1,7.                       4

A'(x)                      -               0.             +


A'(x).          flèche               0.             flèche vers le haut
                  vers le bas

A est décroissante sur 0:1,7 et est croissante sur 1,7 ; 4. On en déduit que que la position du point M assurant une aire totale minimale est1,7 cm.

Merci beaucoup

Posté par
mathafou Moderateur
re : dérivation 24-12-22 à 15:29

"dans le même rapport" ça veut dire le rapport des hauteurs est le même que celui des bases , ou de n'importe quel côté "correspondant" des deux triangles (revoir le cours de 4ème / 3ème sur les proportions)

4) Oui,
arrondi à 0.1 près

tu pourrais (devrait) plutôt parler des valeurs exactes (avec racines carrées écrites , pas à la calculette)
et seulement ensuite en donner une valeur approchée.

Nota : dans ton tableau final la dernière ligne est A(x), pas A'(x);

Posté par
louis222
re : dérivation 24-12-22 à 15:37

D'accord
Merci beaucoup pour votre aide.

Bonne journée



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