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Dérivation d'une fonction du type : ax3 + bx² + cx + d
Bonjour, je dois trouver les variations d'une fonction polynome du degré 3 : f(x) = ax3 + bx² + cx + d
Du coup, j'ai trouvé la dérivée de cette dernière : f'(x)= 3ax² + 2bx + c
Maintenant, est-ce que je dois m'aider du discriminant pour trouver les racines de la dérivée ?
Tu dois connaître le signe de f '(x) en fonction de x, pour pouvoir établir un tableau de signe, et un tableau de variation.
Et pour connaître le signe d'un trinôme du second degré, on doit bien sûr déterminer s'il y a des racines, et s'il y en a, déterminer ces racines, car ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2), si x1 et x2 sont les racines en question, et par conséquent, le signe de ax²+bx+c dépend de la position de x par rapport à x1 et à x2.
Donc, bien sûr ! Chaque fois que tu veux connaître le signe d'un trinôme, tu dois connaître ses racines !
Cela dit, pour déterminer ses racines, il y a de nombreuses façons, et l'usage du discriminant n'en est qu'une parmi d'autres ; c'est toi qui vois !
Ok donc si j'utilise le discriminant, je dois d'abord le déterminer
Donc Δ = b² - 4 ac = (2b)² - 4 × 3a × c = 4b² - 12 ac = 4 (b² - 3 ac)
Si b² > 3ac alors Δ > 0 donc x1 = (-b - √Δ) / 2a = (-2b - √Δ) / 6a = (-2b - √(4b² - 12 ac) ) / 6a
= (-2b - √(4 (b² - 3 ac)) ) / 6a = (-2b - 2√ (b² - 3 ac)) / 6a = (-b - √ (b² - 3 ac) ) / 3a
Et x2 = (-b + √Δ) / 2a = (-2b + √Δ) / 6a = (-2b + √(4b² - 12 ac) ) / 6a
= (-2b + √(4 (b² - 3 ac)) ) / 6a = (-2b + 2√ (b² - 3 ac)) / 6a = (-b + √ (b² - 3 ac) ) / 3a
Si b² = 3ac alors Δ = 0 donc x = -b / 2a = -2b / 6a = -b / 3a
Si b² < 3ac alors Δ < 0 donc la factorisation est impossible.
Est-ce que à partir de ces trois cas possibles, je dois déterminer le tableau de signes de la fonction dérivée en fonction de x ?
Est-ce que à partir de ces trois cas possibles, je dois déterminer le tableau de signes de la fonction dérivée en fonction de x ?
Ben oui !
Mais ce que tu as écrit est hautement contestable !
Donc Δ = b² - 4 ac = (2b)² - 4 × 3a × c = 4b² - 12 ac = 4 (b² - 3 ac)
Dans cette ligne, la première apparition de "a" et les suivantes font références à deux variables différentes !
Dans
=b²-4ac, le "a" est le coefficient de x² dans 3ax² + 2bx + c, c'est à dire que le a, c'est 3a !!!
Il est parfaitement interdit d'utiliser ainsi deux variables distinctes ayant le même nom dans la même ligne (je dirais même, dans le même problème, c'est dangeureux). Il faut faire un gros effort pour te suivre ! Et le correcteur te le fera payer cher !
idem dans les lignes suivantes, par exemple : "x = -b / 2a = -2b / 6a = -b / 3a"
Certes, tu t'en sors quand même ! Bel exploit ! Mais tu vas te faire incendier pour cela ! Méfie-toi !
Ah ok, du coup il faut que je change le nom des variables de la fonction ou celles des formules ?
Et pour les tableaux de signes des trois cas différents, les signes dépendent du a (3a) ?
Ah ok donc A = 3a
B = 2b
Après pour les variations, tout dépend de A, si A > 0 alors
Pour Δ > 0 : f'(x) > 0 si x ∈ ]- ∞ ; (-(B/2) - √ ((B/2)² - 3 (A/3)C) ) / A)[
f'(x) = 0 si x = (-(B/2) - √ ((B/2)² - 3 (A/3)C) ) / A)
f(x) < 0 si x ∈ ](-(B/2) - √ ((B/2)² - 3 (A/3)C) ) / A) ; (-(B/2) + √ ((B/2)² - 3 (A/3) C ) ) / A)[
f'(x) = 0 si x = (-(B/2) + √ ((B/2)² - 3 (A/3) C ) ) / A)
f'(x) > 0 si x ∈ ] (-(B/2) + √ ((B/2)² - 3 (A/3) C ) ) / A) ; + ∞ [
Pour Δ = 0 : f'(x) > 0 si x ∈ ]- ∞ ; (-(B/2) / A)[
f'(x) = 0 si x = (-(B/2) / A)
f'(x) > 0 si x ∈ ](-(B/2) / A) ; + ∞ [
Pour Δ < 0, f'(x) > 0 si x ∈ R
Si A < 0 alors
Pour Δ > 0 : f'(x) < 0 si x ∈ ]- ∞ ; (-(B/2) - √ ((B/2)² - 3 (A/3)C) ) / A)[
f'(x) = 0 si x = (-(B/2) - √ ((B/2)² - 3 (A/3)C) ) / A)
f(x) > 0 si x ∈ ](-(B/2) - √ ((B/2)² - 3 (A/3)C) ) / A) ; (-(B/2) + √ ((B/2)² - 3 (A/3) C ) ) / A)[
f'(x) = 0 si x = (-(B/2) + √ ((B/2)² - 3 (A/3) C ) ) / A)
f'(x) < 0 si x ∈ ] (-(B/2) + √ ((B/2)² - 3 (A/3) C ) ) / A) ; + ∞ [
Pour Δ = 0 : f'(x) < 0 si x ∈ ]- ∞ ; (-(B/2) / A)[
f'(x) = 0 si x = (-(B/2) / A)
f'(x) < 0 si x ∈ ](-(B/2) / A) ; + ∞ [
Pour Δ < 0, f'(x) < 0 si x ∈ R
Je pensais que tu calculerais plutôt avec les lettres minuscules de l'énoncé, en écrivant par exemple :
= B² - 4AC = (2b)² - 4*3a*c = 4b² - 12ac.
Ah d'accord, j'avoue que c'est plus simple ! =S mais si je remets les lettres minuscules, es-ce que c'est juste ?
Oui, cela me paraît juste (j'ai vérifié d'après ton message de 13h56, car le mélange de coefficients est très pénible).
Dans la rédaction définitive, tu devrais écrire par exemple :
Si = 0, alors x = - B/2A = - 2b/6a = - B/3a .
Pour alléger l'écriture, tu pourrais donner d'abord les expressions de x1 et x2 en fonction de a, b et c, puis, dans la suite, conserver les notations x1 et x2.
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