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Derivation: les extrema d'une aire

Posté par
Duplombenor 17-08-22 à 11:50

Bonjour,
Voici un probleme que j'ai du mal a comprendre :
"On découpe une ficelle de longueur l en deux morceaux ; avec l'un des deux on forme un triangle équilatéral, et avec l'autre, un carré.
Comment couper la ficelle pour que la somme des aires obtenu soit minimale? maximale?"

Mes recherches :
Airetriangle= (base×hauteur)/2
Cherchons la hauteur h grace au theoreme de pythagore :
b2= (b/2)2 + h2
b2= b2/4 + h2
h2= b2 - b2/4
h2= 3b2/4
h= √3b/2
Donc : (b+ √3b/2 )/2
Airecarré= a2
L'aire total = (b+ √3b/2 )/2 + a2

Je pense que pour chercher les extremums il faut une fonction du second degre, puis on cherche delta, on fait ensuite le tableau de variation et les extremums seront les f(x) des racines

Voila je ne sais pas si c'est correct et je suis bloqué pour la suite
Aidez moi s'il vous plait

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 12:27

Bonjour

Une erreur dans le calcul de l'aire du triangle

Vous avez posé pour la longueur du côté du carré a, donc la longueur du côté du triangle est \ell-a

La formule de l'aire du triangle est bien celle que vous avez écrite, mais ce n'est pas celle que vous avez appliquée

Les extrema sont à rechercher parmi les points où la dérivée s'annule

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 12:59

Je ne sais pas si ce calcul est correct pour l'aire du triangle :
l-a = (l-a/2)2- h2
h2=l2-2al+a2/4-l
+a
h= √(l2-2al+a2-4l+4a)/2

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 13:20

Dans votre calcul, vous aviez écrit + au lieu de \times

ensuite, vous pouviez remplacer b par \ell-a

Vous ne précisez pas ce qu'est h

On sait que dans un triangle équilatéral, la longueur de la hauteur est  \dfrac{a\sqrt{3}}{2} où a est la longueur du côté

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 13:39

Je vais essayer de tous reprendre depuis le début :
On appelle a la longueur du côté du triangle équilatéral, son aire vaut donc :
((a √ 3/2)×a)/2
Le côté du carré mesure donc : l-a
Son aire vaut : (l-a)2
Soit l2-2al +a2
Ensuite on additionnel ces deux aires :
((a √ 3/2)×a)/2 + l2-2al +a2
J'ai du mal à simplifier

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 13:56

Vous avez changé vos notations, mais cela n'a pas d'importance, reprenons :

a  longueur du côté du triangle équilatéral  

longueur de la hauteur  \dfrac{a\sqrt{3}}{2}

aire du triangle \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}\times a}{2}}{2}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}

aire du carré (\ell-a)^2

aire totale \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}+(\ell-a)^2

= \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2+a^2 -2\ell a+ \ell^2

Il n'y a qu'une factorisation par a^2

ensuite, on considère la fonction définie sur [0~;~\ell]

on dérive   et on cherche le(s) zéro(s )

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 15:19

Comme l'écriture laisserait le supposer, il n'y a absolument pas de  - devant \sqrt{3}

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 15:34

D'accord je vais faire ça, merci 😁

Posté par
Leilere : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 16:44

bonjour à tous les deux,

j'ai du mal à suivre cet exercice sans schéma..

la corde entière mesure une longueur de  \ell.
il me semble que  \ell=  3a + 4b, si on appelle b le coté du carré.
avec le premier morceau on forme un triangle équilatéral de coté a.
ce premier morceau a donc une longueur de 3a
le morceau restant a une longueur de  (\ell-3a).  

Avec ce morceau on forme une carré, dont le coté vaut   b= (\ell-3a)/4  et  l'aire   ((\ell-3a)/4)^2.

Je me trompe ?

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 17:03

Bonjour Leile

Il me semble que vous faites la bonne lecture du texte : \ell est la longueur du périmètre des deux figures

Si a est la longueur du côté du triangle, le côté du carré a pour longueur \dfrac{\ell-3a}{4}

et donc l'aire totale \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}+\left(\dfrac{\ell-3a}{4}\right)^2 \\

Cela complique un peu les calculs, le principe est le même.

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 17:22

Bonjour,
J'ai essayer de factoriser par a2=
a2=(√3/4+1-2×(a/a2) ×l) + l2
Mais est ce que votre dernier message change ce résultat. Et est ce que cest ce résultat qu'il faut factoriser puis dérivé puis chercher les zéros
Merci de votre aide

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 17:42

Oui cela le change un peu

Pourquoi avez-vous un signe = ?

Vous avez \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \dfrac{\ell^2-6a\ell+9a^2}{16}

ou en réduisant au même dénominateur \dfrac{ 4\sqrt{3}a^2 +9a^2-6a\ell +\ell^2}{16}

On peut laisser tomber le dénominateur, car l'extremum sera obtenu pour la même valeur

Si vous aviez xa^2+ya^2  et que vous mettiez a^2 en facteur, qu'obtenez-vous ?

rappel ac+bc=(a+b)c pour tout a, tout b, tout c réels.

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 17:59

Ça fait a2(x+y)

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 18:05

oui, donc  4\sqrt{3}a^2 +9a^2=

et ensuite

4\sqrt{3}a^2 +9a^2-6a\ell +\ell^2=

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 18:22

a2(4{\sqrt{}}{}3 +9) -6al +l2

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 18:27

Bien

on considère alors la fonction  f qui à a associe l'aire totale

f(a)= (4\sqrt{3}+9)a^2-6\ell\, a+\ell^2

f'(a) ?

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 18:54

(4\frac{\sqrt{}}{}3 +9) à pour dérivé 0
a2 = 2a
-6al = -6
l2=2l
Donc : 2a+2l-6
Mais je ne suis pas sur

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 19:04

Non
Il n'y a qu'une variable, a

\ell est une constante donnée, c'est la longueur de la corde

la dérivée de x\mapsto kx^2 est la fonction x\mapsto 2k x

k est un réel, tout comme 4\sqrt{3} +9

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 20:14

Ça fait a2(4\frac{\sqrt{}}{}3 +9) -6al +l2
Donc : a2 = 2a
(4\frac{\sqrt{}}{}3 +9) =0
-6al= -6
l2=0
Donc: 2a -6
C'est bon

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 20:25

Vous n'aviez pas a^2 mais  \left(4\sqrt{3} +9\right)a^2

Si la dérivée de x \mapsto kx^2 est x\mapsto 2kx

  alors la dérivée de a\mapsto \left(4\sqrt{3} +9\right)a^2 est a\mapsto 2\left(4\sqrt{3} +9\right)a


Quant au deuxième terme, qu'avez-vous fait de \ell la constante était -6\ell

la dérivée du dernier terme est correcte 0

Attention à l'écriture  on n'a pas \ell^2 =0 il vaut mieux écrire (\ell^2)'=0

même si c'est par abus

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 20:41

D'accord et ensuite on fait le tableau des signes de cette derive : 2(4 \sqrt{}3  +9)a ?

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 20:43

On cherche quand est ce qu'elle s'annule

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 20:55

f'(a)=2\left(4\sqrt{3} +9\right)a-6\ell=0

a=\dfrac{3\ell}{4\sqrt{3}+9}

Pourquoi un tableau de signes  ?

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 21:05

Enfaîte j'ai confondu tableau de signe et variation, je voulais dire variation et on place les points où cette dérivé s'annulr et comme ça on trouve les extremums

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 21:10

Il n'y a qu'un point   où la dérivée s'annule en changeant de signes.

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 21:23

Ok et dans votre post vous avez mis : a = 3l/ 4\sqrt{}3 +9 donc je fais : f (3l/ 4\sqrt{}3 +9)

Avec f = \dfrac{ 4\sqrt{3}a^2 +9a^2-6a\ell +\ell^2}{16}
Je remplace dans cette formule les a par (3l/ 4\sqrt{}3 +9) c'est ça

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 21:30

Pourquoi calculez-vous f(a). On ne vous demande pas la valeur de l'aire totale minimale

f admet un minimum pour \dfrac{9-4\sqrt{3}}{11}\ell

rendre rationnel le dénominateur

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 22:23

Je vous remercie vraiment votre aide et de votre temps mais, je crois que ce problème est un peu compliqué à comprendre pour moi surtout par écrit. J'essayerai de demander à mon professeur de maths de me l'expliquer au tableau étape par étape

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 23:24

Reprenons

Première étape  calcul des longueurs nécessaires

On pose a la longueur du côté du triangle  Ce sera plus simple pour calculer la longueur de la hauteur

h= \dfrac{a\sqrt{3}}{2} utilisation du th de Pythagore ou trigonométrie

Comme \ell est le périmètre des deux figures, le triangle prend 3a il reste donc \ell-3a donc pour un côté \dfrac{\ell-3a}{4}

Deuxième étape  les aires

aire du triangle \dfrac{a\times a\sqrt{3}}{2}}{2}= \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}

aire du carré  \left(\dfrac{\ell-3a}{4}\right)^2 = \dfrac{9a^2-6\ell \,a +\ell^2}{16}

aire totale   \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}+  \dfrac{\left(4\sqrt{3}+9\right) a^2-6\ell \,a +\ell^2}{16}


transformons cette écriture  en réduisant au même dénominateur et en factorisant par a^2

\dfrac{\left(4\sqrt{3}+9\right) a^2-6\ell \,a +\ell^2}{16}

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 17-08-22 à 23:37

suite

troisième étape  recherche des extrema
On va considérer la fonction f définie par f(a)=\left(4\sqrt{3}+9\right) a^2-6\ell \,a +\ell^2 \\
Il est manifeste que f et \dfrac{f}{16} admettent le même extremum.

Soit on peut utiliser un résultat de seconde le minimum de la fonction qui à x associe ax^2+bx+c  est obtenu pour \dfrac{-b}{2a}

soit on a admis que les extrema étaient à rechercher parmi les points qui annulaient la dérivée

f'(a)= 2\left(4\sqrt{3}+9\right)a-6\ell

f'(a)=0 \iff a=\dfrac{6\ell}{ 2\left(4\sqrt{3}+9\right)}=\dfrac{3}{ 4\sqrt{3}+9}\ell=\dfrac{9-4\sqrt{3}}{11}\ell

L'aire totale sera minimale pour a=\dfrac{9-4\sqrt{3}}{11}\ell\approx 0,188 \ell

Est-ce plus clair ?  s'il y a des questions , n'hésitez pas

De rien

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 18-08-22 à 11:33

Je réécris la partie sur les aires, car il y a quelques erreurs dues à un mauvais copier-coller

Deuxième étape  les aires

aire du triangle \dfrac{\dfrac{a\times a\sqrt{3}}{2}}{2}= \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}

aire du carré  \left(\dfrac{\ell-3a}{4}\right)^2 = \dfrac{9a^2-6\ell \,a +\ell^2}{16}

aire totale   \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}+  \dfrac{9 a^2-6\ell \,a +\ell^2}{16}


transformons cette écriture  en réduisant au même dénominateur et en factorisant par a^2

\dfrac{4a^2\sqrt{3}}{16}+\dfrac{9a^2-6\ell\,a+\ell^2}{16}=\dfrac{\left(4\sqrt{3}+9\right) a^2-6\ell \,a +\ell^2}{16}

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 18-08-22 à 11:57

Oui je comprend beaucoup mieux, je vais reprendre ce problème avec à vos explications
Merci

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 18-08-22 à 12:00

Comme je vous l'ai dit, s'il y a des questions, il faut les poser. Elles ne doivent pas rester sans réponse.

Posté par
Duplombenorre : Derivation: les extrema d'une aire 18-08-22 à 19:27

Bonjour après avoir repris le problème, j'ai 2 questions :

Comment faites vous pour passer de la première fraction à la deuxième puis à la troisième, je n'arrive pas simplifier :
a=\dfrac{6\ell}{ 2\left(4\sqrt{3}+9\right)}=\dfrac{3}{ 4\sqrt{3}+9}\ell=\dfrac{9-4\sqrt{3}}{11}\ell

Et dans l'énoncé on demande "l'air minimal? maximal?" mais on ne trouve qu'un seul extremum donc comment savez vous que c'est l'extremum minimale ?

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 18-08-22 à 20:07

  
a=\dfrac{6\ell}{ 2\left(4\sqrt{3}+9\right)}=\dfrac{3\times \cancel{2}}{ \cancel{2}\left(4\sqrt{3}+9\right)}\ell

J'ai préféré ne garder que la fraction et mettre \ell en dehors  puisque l'on travaillait sur les nombres uniquement

on a \dfrac{ab}{c}=\dfrac{a}{c}b

Deuxième égalité
Je laisse tomber \ell le temps des calculs  

\dfrac{3}{ 4\sqrt{3}+9}

Quantité conjuguée 4\sqrt{3}-9}

on peut multiplier numérateur et dénominateur par un même réel non nul, ici, c'est la quantité conjuguée.

\dfrac{3}{ 4\sqrt{3}+9}=\dfrac{3\left(4\sqrt{3}-9\right)}{ \left(4\sqrt{3}+9\right)\left(4\sqrt{3}-9\right)}

le dénominateur est de la forme (a+b)(a-b)  (normal, on a fait cela pour ça) on a donc

(4\sqrt{3})^2-9^2==48-81=-33

\dfrac{3}{ 4\sqrt{3}+9}=\dfrac{3(4\sqrt{3}-9)}{-33}

on peut donc simplifier par -3   on remarque aussi que -(4\sqrt{3}-9)}=9-4\sqrt{3}

On obtient donc en fin \dfrac{\cancel{3}\times(9-4\sqrt{3})}{\cancel{3}\times 11}

on n'oublie pas \ell , on a alors la valeur de a

Posté par
Leilere : Derivation: les extrema d'une aire 18-08-22 à 20:14

bonsoir,

en attendant le retour de hekla,

\dfrac{6\ell}{ 2\left(4\sqrt{3}+9\right)}=\dfrac{3}{ 4\sqrt{3}+9}\ell
on note que 6 = 2*3   et on simplifie par 2.
tu sais que
le \frac{4x}{3} = \frac{4}{3}*x n'est ce pas ?
c'est qu'a fait hekla, pour déplacer \ell.

Pour l'égalité suivante :
on cherche à ne plus avoir de racine au dénominateur (c'est toujours mieux   ).
pour cela on multiplie (en haut et en bas) par une valeur bien choisie. On se souvient que (a+b)(a-b) = a² - b²
donc
  (9+4\sqrt{3}) * (9-4\sqrt{3}) = 9² - 16*3 = 33

(a-b) est  la quantité conjuguée de (a+b)
on se retrouve avec
\dfrac{3* (9 -4\sqrt{3})}{33}\ell=\dfrac{9-4\sqrt{3}}{11}\ell

c'est plus clair ?

Posté par
Leilere : Derivation: les extrema d'une aire 18-08-22 à 20:15

bonsoir hekla,
le temps que je tape mon message, tu étais déjà là !
Bonne soirée.

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 18-08-22 à 20:27

J'ai préféré sauvegarder les calculs

Je réponds donc à la deuxième question

  Si vous avez ax+b  avec a positif, vous pouvez affirmer que  sur

\left]-\infty~;~-\dfrac{b}{a}\right[\quad ax+b est strictement négatif  

et sur \left]\dfrac{-b}{a}~;~+\infty\right[ \quad ax+b est strictement positif

Cela vous donne donc le signe de la dérivée  

strictement négatif d'abord  0 puis strictement positif. Il en résulte que la fonction est d'abord strictement décroissante, puis strictement croissante. On passe donc bien par un minimum.

Quant au maximum, il ne peut être qu'aux bornes de l'intervalle de définition

donc soit a=0  et par suite l'aire vaut \dfrac{\ell^2}{16}

soit[ tex] a=\ell[/tex], l'aire vaudra alors 0 puisque le triangle est dégénéré, il n'a qu'un côté on a tout pris comme longueur

Posté par
heklare : Derivation: les extrema d'une aire 18-08-22 à 20:32

Bonsoir Leile

Il n'y a pas de problème.  Elle a ainsi 2 versions

Je ne tape pas vite  Merci d'avoir rectifié


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