Bonjour,
Voici un probleme que j'ai du mal a comprendre :
"On découpe une ficelle de longueur l en deux morceaux ; avec l'un des deux on forme un triangle équilatéral, et avec l'autre, un carré.
Comment couper la ficelle pour que la somme des aires obtenu soit minimale? maximale?"
Mes recherches :
Airetriangle= (base×hauteur)/2
Cherchons la hauteur h grace au theoreme de pythagore :
b2= (b/2)2 + h2
b2= b2/4 + h2
h2= b2 - b2/4
h2= 3b2/4
h= √3b/2
Donc : (b+ √3b/2 )/2
Airecarré= a2
L'aire total = (b+ √3b/2 )/2 + a2
Je pense que pour chercher les extremums il faut une fonction du second degre, puis on cherche delta, on fait ensuite le tableau de variation et les extremums seront les f(x) des racines
Voila je ne sais pas si c'est correct et je suis bloqué pour la suite
Aidez moi s'il vous plait
Bonjour
Une erreur dans le calcul de l'aire du triangle
Vous avez posé pour la longueur du côté du carré , donc la longueur du côté du triangle est
La formule de l'aire du triangle est bien celle que vous avez écrite, mais ce n'est pas celle que vous avez appliquée
Les extrema sont à rechercher parmi les points où la dérivée s'annule
Je ne sais pas si ce calcul est correct pour l'aire du triangle :
l-a = (l-a/2)2- h2
h2=l2-2al+a2/4-l
+a
h= √(l2-2al+a2-4l+4a)/2
Dans votre calcul, vous aviez écrit au lieu de
ensuite, vous pouviez remplacer par
Vous ne précisez pas ce qu'est
On sait que dans un triangle équilatéral, la longueur de la hauteur est où
est la longueur du côté
Je vais essayer de tous reprendre depuis le début :
On appelle la longueur du côté du triangle équilatéral, son aire vaut donc :
((a √ 3/2)×a)/2
Le côté du carré mesure donc : l-
Son aire vaut : (l-)2
Soit l2-2al +a2
Ensuite on additionnel ces deux aires :
((a √ 3/2)×a)/2 + l2-2al +a2
J'ai du mal à simplifier
Vous avez changé vos notations, mais cela n'a pas d'importance, reprenons :
longueur du côté du triangle équilatéral
longueur de la hauteur
aire du triangle
aire du carré
aire totale
=
Il n'y a qu'une factorisation par
ensuite, on considère la fonction définie sur
on dérive et on cherche le(s) zéro(s )
bonjour à tous les deux,
j'ai du mal à suivre cet exercice sans schéma..
la corde entière mesure une longueur de .
il me semble que , si on appelle b le coté du carré.
avec le premier morceau on forme un triangle équilatéral de coté a.
ce premier morceau a donc une longueur de 3a
le morceau restant a une longueur de .
Avec ce morceau on forme une carré, dont le coté vaut et l'aire
.
Je me trompe ?
Bonjour Leile
Il me semble que vous faites la bonne lecture du texte : est la longueur du périmètre des deux figures
Si est la longueur du côté du triangle, le côté du carré a pour longueur
et donc l'aire totale
Cela complique un peu les calculs, le principe est le même.
Bonjour,
J'ai essayer de factoriser par a2=
a2=(√3/4+1-2×(a/a2) ×l) + l2
Mais est ce que votre dernier message change ce résultat. Et est ce que cest ce résultat qu'il faut factoriser puis dérivé puis chercher les zéros
Merci de votre aide
Oui cela le change un peu
Pourquoi avez-vous un signe = ?
Vous avez
ou en réduisant au même dénominateur
On peut laisser tomber le dénominateur, car l'extremum sera obtenu pour la même valeur
Si vous aviez et que vous mettiez
en facteur, qu'obtenez-vous ?
rappel pour tout a, tout b, tout c réels.
Non
Il n'y a qu'une variable,
est une constante donnée, c'est la longueur de la corde
la dérivée de est la fonction
est un réel, tout comme
Vous n'aviez pas mais
Si la dérivée de est
alors la dérivée de est
Quant au deuxième terme, qu'avez-vous fait de la constante était
la dérivée du dernier terme est correcte 0
Attention à l'écriture on n'a pas il vaut mieux écrire
même si c'est par abus
Enfaîte j'ai confondu tableau de signe et variation, je voulais dire variation et on place les points où cette dérivé s'annulr et comme ça on trouve les extremums
Ok et dans votre post vous avez mis : a = 3l/ 43 +9 donc je fais : f (3l/ 4
3 +9)
Avec f =
Je remplace dans cette formule les a par (3l/ 43 +9) c'est ça
Pourquoi calculez-vous . On ne vous demande pas la valeur de l'aire totale minimale
f admet un minimum pour
rendre rationnel le dénominateur
Je vous remercie vraiment votre aide et de votre temps mais, je crois que ce problème est un peu compliqué à comprendre pour moi surtout par écrit. J'essayerai de demander à mon professeur de maths de me l'expliquer au tableau étape par étape
Reprenons
Première étape calcul des longueurs nécessaires
On pose la longueur du côté du triangle Ce sera plus simple pour calculer la longueur de la hauteur
utilisation du th de Pythagore ou trigonométrie
Comme est le périmètre des deux figures, le triangle prend
il reste donc
donc pour un côté
Deuxième étape les aires
aire du triangle
aire du carré
aire totale
transformons cette écriture en réduisant au même dénominateur et en factorisant par
suite
troisième étape recherche des extrema
On va considérer la fonction définie par
Il est manifeste que et
admettent le même extremum.
Soit on peut utiliser un résultat de seconde le minimum de la fonction qui à associe
est obtenu pour
soit on a admis que les extrema étaient à rechercher parmi les points qui annulaient la dérivée
L'aire totale sera minimale pour
Est-ce plus clair ? s'il y a des questions , n'hésitez pas
De rien
Je réécris la partie sur les aires, car il y a quelques erreurs dues à un mauvais copier-coller
Deuxième étape les aires
aire du triangle
aire du carré
aire totale
transformons cette écriture en réduisant au même dénominateur et en factorisant par
Comme je vous l'ai dit, s'il y a des questions, il faut les poser. Elles ne doivent pas rester sans réponse.
Bonjour après avoir repris le problème, j'ai 2 questions :
Comment faites vous pour passer de la première fraction à la deuxième puis à la troisième, je n'arrive pas simplifier :
Et dans l'énoncé on demande "l'air minimal? maximal?" mais on ne trouve qu'un seul extremum donc comment savez vous que c'est l'extremum minimale ?
J'ai préféré ne garder que la fraction et mettre en dehors puisque l'on travaillait sur les nombres uniquement
on a
Deuxième égalité
Je laisse tomber le temps des calculs
\dfrac{3}{ 4\sqrt{3}+9}
Quantité conjuguée
on peut multiplier numérateur et dénominateur par un même réel non nul, ici, c'est la quantité conjuguée.
le dénominateur est de la forme (a+b)(a-b) (normal, on a fait cela pour ça) on a donc
on peut donc simplifier par on remarque aussi que
On obtient donc en fin
on n'oublie pas , on a alors la valeur de
bonsoir,
en attendant le retour de hekla,
on note que 6 = 2*3 et on simplifie par 2.
tu sais que
le n'est ce pas ?
c'est qu'a fait hekla, pour déplacer .
Pour l'égalité suivante :
on cherche à ne plus avoir de racine au dénominateur (c'est toujours mieux ).
pour cela on multiplie (en haut et en bas) par une valeur bien choisie. On se souvient que (a+b)(a-b) = a² - b²
donc
(a-b) est la quantité conjuguée de (a+b)
on se retrouve avec
c'est plus clair ?
J'ai préféré sauvegarder les calculs
Je réponds donc à la deuxième question
Si vous avez avec
positif, vous pouvez affirmer que sur
est strictement négatif
et sur est strictement positif
Cela vous donne donc le signe de la dérivée
strictement négatif d'abord 0 puis strictement positif. Il en résulte que la fonction est d'abord strictement décroissante, puis strictement croissante. On passe donc bien par un minimum.
Quant au maximum, il ne peut être qu'aux bornes de l'intervalle de définition
donc soit et par suite l'aire vaut
soit[ tex] a=\ell[/tex], l'aire vaudra alors 0 puisque le triangle est dégénéré, il n'a qu'un côté on a tout pris comme longueur
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