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dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ

Posté par
LoliMurdoch 23-02-20 à 12:55

Bonjour, j'ai un exercice qui consiste à dériver deux fonctions avec l'aide de la formule de Leibniz. Je ne suis pas sûr de mes résultats et je souhaiterais savoir si ils sont correctes. Pouvez-vous m'aider?🤗

Donnée - énoncer - réponses
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Formule de Leibniz : (fg)^{(n)}=\sum_{K=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} f^{(k)}g^{(n-k)}}
Commençons avec n=2 : dérivée seconde du produit de f et g. Cela devient donc : (fg)^{(2)}=\sum_{K=0}^{2}{f^{(0)}g^{(2)}}

Détailler. Cela donne : (fg)^{(2)}=\begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}\times f^{(0)}\times g^{(2)} + \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}\times f^{(1)}\times g^{(1)} + \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}\times f^{(2)}\times g^{(0)}
                                                   (fg)^{(2)}=2\times f^{(0)}\times g^{(2)} + 1\times f^{(1)}\times g^{(1)} + 2\times f^{(2)}\times g^{(0)}

Application:
soit f(x)=x^{4} et g(x)=\sqrt x nous allons nous intéresser à la dérivée seconde de fg:

je prépare f'(x)=4x^{3}   f^{(2)}(x)=12x^{2}   g'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}    g^{(2)}(x)=\frac{-1}{4x\sqrt x}

donc (fg)^{(2)}=(x^{4}\sqrt x )^{(2)}= 2 \times x^{4} \times \frac{-1}{4x\sqrt x} + 1\times 4x^{3}\times \frac{1}{2\sqrt x}+2\times 12x^{2}\times \sqrt x

Dérivée troisième du produit de f et g
[...]
Dérivée quatrième du produit de f et g
[...]
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Pour les dérivées troisième et quatrième du produit de f et g je préfère vous exposer mes réponses à la suite de ce post pour d'abord traitée la dérivée seconde, sauf si vous voulez tout maintenant.
Merci d'avance.🤗

Posté par
sanantonio312re : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 13:00

Une erreur de calcul, (fg)''=f''g+2f'g'+fg''
Les coeff sont donc 1, 2 et 1 et pas 2, 1 et 2.
D'ailleurs 2!/(0!2!)=1 et 2!/(1!1!)=2

Posté par
sanantonio312re : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 13:02

Ensuite, pour faire plus propre, n'oublie pas que \dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{x}

Posté par
LoliMurdochre : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 13:13

LoliMurdoch @ 23-02-2020 à 12:55


Détailler. Cela donne : (fg)^{(2)}=\begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}\times f^{(0)}\times g^{(2)} + \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}\times f^{(1)}\times g^{(1)} + \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}\times f^{(2)}\times g^{(0)}

(fg)^{(2)}= \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix} \times f^{(0)}\times g^{(2)} + \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} \times f^{(1)}\times g^{(1)} + \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} \times f^{(2)}\times g^{(0)}


C'est pour ça que mes coefficients sont 2,1,2.
Je suppose donc que je me suis trompée dans les parenthèse, c'est ça?

Posté par
sanantonio312re : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 13:23

\begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}=\dfrac{2!}{0!2!}=1
\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}=\dfrac{2!}{1!1!}=2

Posté par
LoliMurdochre : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 14:31

Merci j'ai compris le calcul qu'il faut faire mais j'aimerais savoir à quoi correspond vos "!"

Posté par
sanantonio312re : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 14:39

Factorielle. \begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}

Sinon, comment calcules-tu \begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}?

Posté par
LoliMurdochre : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 14:43

À vrai dire je n'y avais pas pensé.
donc je change tout mes coefficients et le reste est correct?

Posté par
sanantonio312re : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 14:52

Si tu les laisses au format \begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}, c'est juste.
Ton

Citation :
À vrai dire je n'y avais pas pensé.
me laisse rêveur. Comment as-tu trouvé 2, 1 et 2?

Autre chose, f^{(0)}=f

Posté par
LoliMurdochre : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 15:02

Quand vous dites

sanantonio312 @ 23-02-2020 à 14:52


Autre chose, f^{(0)}=f

Cela veux dire que je peux juste mettre f au lieux de f(0) sinon mes résultats et les endroits où j'ai remplacer sont correcte?

Posté par
sanantonio312re : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 15:27

Oui, c'est bon.
Relis la première ligne de mon post de 13h00:

Citation :
(fg)''=f''g+2f'g'+fg''
C'est la même chose...

Posté par
LoliMurdochre : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 15:30

D'accord je vous remercie sanantonio312,
J'ai donc corrigé pour la suite de l'exercice mes erreurs. Pouvez-vous prendre le temps de me corriger ou pas?

Posté par
sanantonio312re : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 15:33

Oui, j'ai encore un moment...

Posté par
sanantonio312re : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 15:37

Au lieu de

Citation :
f'(x)=4x^{3} f^{(2)}(x)=12x^{2} g'(x)=\frac{1}{2\sqrt x} g^{(2)}(x)=\frac{-1}{4x\sqrt x}[/tex]
Je te suggère:

f'(x)=4x^{3}   f^{(2)}(x)=12x^{2}   g'(x)=\dfrac{\sqrt x}{2x}    g^{(2)}(x)=\dfrac{-\sqrt x}{4x^2}

Posté par
LoliMurdochre : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 16:26

D'accord alors voila la suite:
Donnée - énoncer - réponses
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Dérivée troisième du produit de f et g. Cela devient donc : (fg)^{(3)}=\sum_{k=0}^{3}{\begin{pmatrix} 3\\k \end{pmatrix}}f^{(k)}g^{(3-k)}

Détailler. Cela donne :
(fg)^{(3)}= \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix}\times f \times g^{(3)}+\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix}\times f ^{(1)}\times g^{(2)}+\begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix}\times f ^{(2)}\times g^{(1)}+\begin{pmatrix} 3\\3 \end{pmatrix}\times f ^{(3)}\times g
(fg)^{(3)}= 1\times f\times g^{(3)} + 3\times f^{(1)}\times g^{(2)}+ 3\times f^{(2)}\times g^{(1)}+1\times f^{(3)}\times g

Application:
soit f(x)=-3x^{3} et g(x)=e^{2x} nous allons nous intéresser à la dérivée seconde de fg:

je prépare f'(x)=-9x^{2}               g'(x)=2e^{2x}
                       f^{(2)}(x)=-18x           g^{(2)}(x)=4e^{2x}
                       f^{(3)}(x)=-18             g^{(3)}(x)=8e^{2x}

donc (fg)^{(3)}=(-3x^{3}e^{2x})^{(3)}= 1 \times -3x^{3} \times 8e^{2x} + 3\times -9x^{2}\times 4e^{2x} +3\times -18x\times2e^{2x} +1\times -18\times e^{2x}
             (fg)^{(3)}= e^{2x} (-24x^{3}-108x^{2}-108x-18)
.
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Dérivée quatrième du produit de f et g. Cela devient donc : (fg)^{(4)}=\sum_{k=0}^{4}{\begin{pmatrix} 4\\k \end{pmatrix}}f^{(k)}g^{(4-k)}

Détailler. Cela donne :
(fg)^{(4)}= \begin{pmatrix} 4\\0 \end{pmatrix}\times f \times g^{(4)}+\begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix}\times f ^{(1)}\times g^{(3)}+\begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix}\times f ^{(2)}\times g^{(2)}+\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}\times f ^{(3)}\times g^{(1)}+\begin{pmatrix} 4\\4 \end{pmatrix}\times f ^{(4)}\times g
(fg)^{(4)}= 1\times f\times g^{(4)} + 4\times f^{(1)}\times g^{(3)}+ 6\times f^{(2)}\times g^{(2)}+4\times f^{(3)}\times g^{(1)}+1\times f^{(4)}\times g

Application:
soitf(x)=x^{2} etg(x)=e^{x} nous allons nous intéresser à la dérivée seconde de fg:

je prépare f'(x)=2x               g'(x)=e^{x}
                       f^{(2)}(x)=2               g^{(2)}(x)=e^{x}
                       f^{(3)}(x)=0               g^{(3)}(x)=e^{x}
                       f^{(4)}(x)=0               g^{(4)}(x)=e^{x}

donc (fg)^{(4)}=(x^{2}e^{x})^{(4)}= 1 \times x^{2} \times e^{x} + 4 \times 2x \times e^{x} +6 \times 2 \times e^{x} +4 \times 0 \times e^{x} +1 \times 0 \times e^{x}
             (fg)^{(4)}= e^{x} (x^{2}+8x+12)
.
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Posté par
sanantonio312re : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 17:53

Ca me parait bon.
Pour la dérivée troisième, tu pourrais mettre -3 en facteur, ça donnerait:
-3e2x(8x³+36x²+36x+6)

Posté par
sanantonio312re : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 17:54

En relisant, c'est même -6 qui se met en facteur:
-6e2x(4x³+18x²+18x+3)

Posté par
LoliMurdochre : dérivé d'une fonction avec la formule de LEIBNIZ 23-02-20 à 17:56

J'en prends note merci pour tout sanantonio312, bonne fin de journée à vous.🤗


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