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Dérivée d'un produit de trois fonctions
Bonjour,
Je demande votre aide pour mon DM que je n'ai pas compris, voilà l'énoncé :
Soit f, g et h trois fonctions dérivables sur un intervalle I.
a) On pose u = f x g. Que dit le cours concernant la dérivabilité de la fonction u ?
b) Démontrer que la fonction u x h est dérivable sur I, et exprimer sa dérivée à l'aide des fonctions u, u', h, et h'. En déduire que f x g x h est dérivable sur I et calculer sa dérivée.
c) Vérifier qu'on aurait obtenu le même résultat en dérivant d'abord v = g x h puis f x v.
d) Calculer la dérivée des fonctions suivantes sur l'intervalle I proposé :
(Il y a 4 fonctions, je vous les écrirai plus bas si je n'y arrive pas à les faire)
e) Énoncer et démontrer un résultat analogue concernant quatre fonctions f, g, h et i dérivables sur un intervalle I. Utiliser la formule trouvée pour calculer la dérivée de la fonction ci-dessous, puis vérifier le résultat à l'aide d'un logiciel de calcul formel :
x -> (x-1) * (x-2) * (x-3) * (x-4), I = R
Quelqu'un aurait une piste pour commencer ? Je n'ai pas retrouvé dans mon cours ce qu'il demande pour la question a)...
Merci d'avance.
Ah ok merci, du coup c'est pareille pour u x h ?
Et quesque c'est u, u', h, et h' ? :s Vu que le produit de f x g x h est dérivable, je comprends pas pourquoi on a besoin de u, u', h, et h' ...
bonjour,
Yzz a bien répondu pour la a)
pour la b) tu sais que
et puisque on sait également que
donc
on remarque qu'il y a une permutation circulaire de la dérivée car il y a 3 membres et dans chacun c'est chacune des fonction à son tour qui se voit appliquer la dérivée.
on a posé dans l'énoncé car on connait le résultat de
mais pas de
que l'on cherche.
est une variable de substitution.
Ok j'aurai jamais réussi seule (et on a jamais vu en cours ce qu'est une variable de substitution) ...
Et on en déduit que f x g x h est dérivable car c'est un produit de fonctions dérivables ? Et comment on calcule sa dérivée si on ne connaît pas h ?
Et pour le c), on a :
V = g x h
<=> g x h = g'h + gh' = v
Donc f x v = f x (g'h + gh') = fg'h + fgh'
Mais on obtient pas la même chose que plus haut...
D) Calculer la dérivée des fonctions suivantes sur l'intervalle I proposé :
x -> (x2 + 1) x 
x x 1/(x+1), I = [1 ; 2]
x -> 1/x x 1/(x+2) x 1/(x+4), I = ]0 ; +
x -> (x2 -3) x (x3 -3) x (x4 -3), I = [1 ; 2]
x -> x x 1/(x + 1) x (1 + x), I = ]0 ; +[
Bonjour,
avec plus de rigueur dans l'écriture ... tu es capable de le faire sans qu'on le fasse entièrement à ta place !!
g x h = g'h + gh' entièrement faux
tu prétends que la dérivée d'une fonction est cette fonction elle même ?
c'est g×h
= g'h + gh'
et g×h reste quant à lui .. g×h
donc non, on n'obtient pas [f×(g×h)]' = f(...) point final
tu n'as visiblement pas compris la solution pourtant entièrement détaillée qu'on t'a donnée pour la question b
(recopier sans comprendre ne sert à rien du tout)
tant que ce ne sera pas compris, inutile de faire la D
la D chacune des fonctions proposées est un produit de fonctions "élémentaires"
nota : éviter d'utiliser x pour dire un produit, soit on utilise le caractère spécial × ou 
(difficilemet discernable de x)
soit on écrit en LaTex qui diférentie parfaitement "x" de "\times"
soit on utilise le symbole conventionnel pour multiplier
x -> (x2 + 1) * x * 1/(x+1), I = [1 ; 2]
est le produit de trois fonctions
f: x -> x2 + 1
g: x -> x
h: x -> 1/(x+1)
et j'ose espérer que tu sais dériver séparément f, g et h
tu appliques alors le résultat de la question b / c pour calculer la dérivée (fgh)'
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