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Dérivée d'une fonction difficile

Posté par
Mauuud 24-02-10 à 17:11

Bonjour à tous,
Voilà, après de multiples heures de recherche(et sans rien éxagérer), je n'arrive toujours pas à réaliser la dérivée de cette fonction :
S(x)= x²+((1-x)/(1+x))²

J'ai bien dérivé x² ce qui n'était pas difficile mais c'est la seconde partie de l'expression qui me pose problème.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Merci d'avance

Posté par
olive_68re : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:13

Salut

La dérivée de 3$u^2 est 3$2uu', qu'est-ce qui te bloque ?

Posté par
Mauuudre : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:15

Et bien le fait que ce soit une triple fonction composée à vrai dire. J'avais pensé à  faire une règle des produits en supposant que u = (1-x)² et v = 1/(x+1)² mais je ne m'en suis pas sortie.

Posté par
Camélia Correcteurre : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:18

Bonjour

\(\frac{u}{v}\)^'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

avec ici u(x)=1-x donc u'(x)=-1 et v(x)=(1+x)^2 donc v'(x)=2(1+x)

\(\frac{1-x}{(1+x)^2}\)^'=\frac{-(1+x)^2-2(1+x)(1-x)}{(1+x)^2}=\frac{-1-2x-x^2-2(1-x^2)}{(1+x)^2}=\frac{x^2-2x-3}{(1+x)^2}

Posté par
olive_68re : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:18

Tu peux aussi mais c'est plus long ^^

Tu sais calculer la dérivée de 3$(1-x)/(1+x) ?

Posté par
olive_68re : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:20

Re Camélia >> il me semble que toute la fraction est au carré

Posté par
Mauuudre : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:21

oui toute la fraction est au carré.

Posté par
Camélia Correcteurre : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:21

Oh là, là! Oubliez-moi!

Posté par
Mauuudre : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:24

et pour répondre à olive-68 la dérivée de (1-x)/(1+x) est égale à : -2 je me trompe ?

Posté par
Mauuudre : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:25

Ouups pardon qu'elle nouille je fais x)
c'est égal à -2/ (1+x)²

Posté par
agnesire : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:31

bonsoir;

la partie en question s'écrit aussi

{{\left(1-x\right)^2}\over{\left(x+1\right)^2}}

d'où la dérivée

\frac{-2(1-x)(1+x)^2-(1-x)^2(2)(1+x)}{(1+x)^4^}

Posté par
olive_68re : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:33

Oui c'est bon (Une petite astuce, si tu veux pour calculer la dérivée de tete de ce genre de fonction, si 3$f(x)=\fr{ax+b}{cx+d} alors elle a pour dérivée 3$f(x)=\fr{ad-bc}{(cx+d)^2}, biensur c'est juste pour aller plus vite tu n'as pas le droit d'écrire ça dans un contrôle ou alors il faut le démontrer )

Ben alors ? ^^ Je sais pas ce qui te bloques, dit moi ^^

Tu n'as plus qu'à terminer de calculer 3$2\times \(\fr{1-x}{1+x}\)\times \(\fr{-2}{(1+x)^2}\)

Posté par
Mauuudre : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:33

Mais à quoi cela m'avance -t-il de calculer la dérivée de (1-x)/(1+x)?
Après je compose ce résultat avec la fonction carrée  ?
Si je poursuis le raisonnement : ça me donnerait 2(-2/(1+x))²
Où c'est à autre chose que vous vouliez m'amener ?

Posté par
Mauuudre : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:36

ouups, la réponse n'était pas apparue ^^
Euh, je ne comprends pas pourquoi je dois multiplier par (1-x/1+x) ...

Posté par
olive_68re : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:38

La formule de 17h13 te le dit

On a posé u=(1-x)/(1+x) bien entendu

Posté par
Mauuudre : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:42

Bah oui tout est clair maintenant !
Allez je me lance dans le calcul :
tout ceci me donne -4-4x/ (1+x)^3
Est-ce exact ?

Posté par
Mauuudre : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 17:53

La dérivée me donne donc au total 2x -(4-4x)/ (1+x)^3.
Afin d'être sûre de mon résultat, j'ai été voir sur un truc de calcul automatique ( qui je trouve n'a pas grand interêt à part celui de vérifier ses dérivées) et j'obtiens ceci :
(-2(x^4 +3x^3 +3x^2 +3x-2)) / ((x+1)^3) n'aurais-je pas fait une erreur ?

Posté par
olive_68re : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 18:04

Je ne pense pas ^^ De tête ça ressemble à ce que tu as calculer

Sinon je trouve la même chose que toi pour la dérivée à un signe près

Posté par
Mauuudre : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 18:07

Notre professeur nous avait dit que pour cette fonction il fallait faireplusieurs dérivées pour atterir sur un polynôme de degré 4.
Pourtant votre formule semble exacte, et c'est plus vous l'expert(e) que moi

Posté par
olive_68re : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 18:15

Euh ça m'étonnerais que le prof vous ait dit ça ^^ Tu peux le dérivée autant que tu veux mais ça ne sera jamais un poylnôme que tu vas obtenir mais toujours une fractions

Tu peux me tutoyé tu sais

Je ne vois pas d'erreur dans mon calcul mais et si on continue le calcul d'agnesi (salut ) on trouve la même chose

Posté par
Mauuudre : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 18:22

Je t'assure ( voilà le tutoiement ^^) que le prof nous a dit ça pour nous aiguiller vu que l'exercice était très difficile ! J'ai un énorme doute, bien que je ne remette pas ta parole en cause

Posté par
Mauuudre : Dérivée d'une fonction difficile 24-02-10 à 18:24

D'habitude j'y arrive en dérivée mais le truc c'est que a c'est (u/v)² alors ça m'a complètement perturbée !


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