Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première DérivationTopics traitant de dérivation [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

Dérivée de pi

Posté par
ludodu 04-02-13 à 13:08

Bonjour à tous,

J'ai un soucis avec une fonction que je n'arrive pas à dériver et donc je n'arrive pas à savoir son signe:

C(x)= 2x3-2v
Notre professeur nous a dis de considérer v comme une constante mais en dérivant je ne sais pas si 2v ( qui est constante x constante ) reste ou pas.
Après je pense que je dois utiliser le discriminant pour savoir le signe.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Labore : Dérivée de pi 04-02-13 à 13:22

Bonjour,
C'(x)=2\pi\times 3x^2=6\pi x^2

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 04-02-13 à 17:57

donc la dérivée de 2v vaut 0 ?

Pour le signe de C'(x), c'est négatif ?

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 04-02-13 à 18:01

Enfin non c'est pas possible, donc c'est tout le temps positif ?

Posté par
Labore : Dérivée de pi 04-02-13 à 19:16

donc la dérivée de 2v vaut 0 ?OUI car c'est une constante
C'(x) ≥ 0 OK  

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 04-02-13 à 19:21

Donc le tableau de signe donne :
positif / positif ?

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 04-02-13 à 20:01

Parce qu'en faite j'ai un soucis, je dois déterminer le tableau de signe de 2'x3-v)/(x2) Et je trouve croissante/croissante mais y a un os quelque part mais je vois pas où ><.

Posté par
Labore : Dérivée de pi 04-02-13 à 20:04

( 2'x3-v)/(x2)
c'est la dérivée de quelle fonction ?

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 04-02-13 à 20:08

C'est la dérivée de S(x)= x2 + 2v/x2

Posté par
Labore : Dérivée de pi 04-02-13 à 20:22

S(x)=\frac{\pi x^2+2v}{x^2} \\
==> S'(x)=\frac{-4v}{x^3}

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 04-02-13 à 20:24

Le x2 est seulement le dénominateur du 2v

Posté par
Labore : Dérivée de pi 04-02-13 à 20:31

S(x)=\pi x^2+\frac{2v}{x^2}
S'(x)=2\pi x-\frac{4v}{x^3}

S'(x)=\frac{2\pi x^4-4v}{x^3}

x^3>0 si  x>0 \\ 2\pi x^4-4v>0 \\ x^4 > \frac{2v}{\pi}

S est défini sur quel intervalle ?

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 04-02-13 à 20:45

Je suis vraiment désolé, j'ai confondu la solution que j'ai trouvé avec le S(x). Vraiment je vous prie de m'excuser pour la perte de temps provoquée.
Je trouve bien S'(x) = 2(x3-v)/x2.

S est défini sur l'intervalle ]0;+[

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 04-02-13 à 20:47

Pour le dénominateur c'est tout le temps positif.
Pour le numérateur, x s'annule en  cubique de v/

Posté par
Labore : Dérivée de pi 04-02-13 à 20:53

S'(x) = 2(\pi x^3-v)/x^2.
v>0
S'(x)<0  si  x <\sqrt[3]{\frac{v}{\pi}}
S(x)  croissante  sur  [\sqrt[3]{\frac{v}{\pi}};+\infty[

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 04-02-13 à 21:00

Est-ce qu'on aurait pu re-dériver  le numérateur de S'(x) pour connaitre le signe  ?
Si oui alors ça donnerait positif/positif  sur ]0;+[  ?

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 04-02-13 à 21:01

Re-dériver dans le sens où je fais ça pour obtenir du second degré.

Posté par
Labore : Dérivée de pi 04-02-13 à 21:15

Si oui alors ça donnerait positif/positif  sur ]0;+∞[  ?  c'est faux puisqu'il est négatif si 0<x<\sqrt[3]{\frac{v}{\pi}}
Il serait préférable que tu postes l'énoncé.

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 04-02-13 à 21:23

Vous êtes-vous demandé pourquoi la hauteur d'une casserole est approxivativement égale à son rayon quelle que soit sa contenance?
Pour répondre à cette question, on se propose de résoudre le problème suivant:
Comment fabriquer une casserole de volume v donné avec le moins de métal possible?
On suppose que le prix de revient du manche ne dépend pas de la casserole.
L'unité est le centimètre. On note x le rayon du cercle de fond, h la hauteur, et S l'aire totale égale à l'aire latérale plus l'air du fond.
1. a) Démontrez que h = v/ x^2.
   b) Démontrez que S = x^2+ 2v/x
2. a) Etudiez sur ]0:+[ les variations de la fonction S:x--> x2+ 2v/x
   b) Concluez en montrant que h = x.


J'ai réussi à tout faire sauf cette fichu Question 2.a)....

Posté par
Labore : Dérivée de pi 04-02-13 à 21:50

je reprends
S(x)=\pi x^2+\frac{2v}{x}

S'(x)=2\pi x-\frac{2v}{x^2}

S'(x)=\frac{2\pi x^3-2v}{x^2}

S'(x)\geq 0  si  2\pi x^3-2v\geq 0
si  x^3\geq \frac{v}{\pi}
x>0
si x\geq \sqrt[3]{\frac{v}{\pi}}

S' s'annule et change de signe pour \sqrt[3]{\frac{v}{\pi}}, par conséquent S admet un minimum pour x=\sqrt[3]{\frac{v}{\pi}} \\
  de plus si  x\sqrt[3]{\frac{v}{\pi}}

2\pi x^3-2v=0 \\ 2\pi x^3=2v \\   x=\frac{2v}{2\pi x^2}=\frac{v}{\pi x^2}=h \\ \\

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 04-02-13 à 22:00

Oui après j'ai réussi pour les autres questions mais c'est juste pour le tableau de signe où j'arrive pas à le faire parce qu'on a pas encore étudier le signe d'un trinôme ( ou binôme ) de degré 3 :s.
Il nous avait conseil de redériver le numérateur pour obtenir un truc du second degré mais je trouve 6x2 qui moi est tout le temps positif ... donc je comprend pas d'où sort le moins dans ce tableau.

Merci pour votre aide .

Posté par
Labore : Dérivée de pi 04-02-13 à 22:09

la dérivée  du numérateur de   S'(x) n'apporte aucune solution au problème.

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 05-02-13 à 07:18

Ah d'accord, et bien merci de votre aide ^^ et désolé pour le dérangement

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 05-02-13 à 07:26

Mais comment je pourrais faire pour trouver le signe de ce quotient sans utiliser les " si " car nous n'avons encore appris à raisonner comme ça :s.

Posté par
Labore : Dérivée de pi 05-02-13 à 08:42

x est un nombre positif= rayon de la casserole
v est un nombre positif= volume de la casserole
S'(x) implique :
  2\pi x^3-2v\geq 0 \\ 2\pi x^3\geq 2v \\ \pi x^3 \geq  0 \\ \pi >0 \\ x^3\geq \frac{v}{\pi} \\ x\geq \sqrt[3]{\frac{v}{\pi}}} \\
S' s'annule et change de signe pour \sqrt[3]{\frac{v}{\pi}}, par conséquent S admet un minimum pour x=\sqrt[3]{\frac{v}{\pi}} \\
Lorsque  x=\sqrt[3]{\frac{v}{\pi}}
alors
2\pi x^3-2v=0 \\ 2\pi x^3=2v \\   x=\frac{2v}{2\pi x^2}=\frac{v}{\pi x^2}=h \\

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 05-02-13 à 11:53

Mais comment on sait que c'est un minimum est pas un maximum par exemple ?

Sinon pour h=x j'ai trouvé, mais je suis reparti à partir de x^3= v/ et j'ai remplacé le v  par x^2xh : c'est bon quand même non ?

Merci de votre aide.

Posté par
Labore : Dérivée de pi 05-02-13 à 13:14

Mais comment on sait que c'est un minimum est pas un maximum par exemple ?
S'(x) est négative sur ]0,\sqrt[3]{\frac{v}{\pi}}}]
s'annule pour x=\sqrt[3]{\frac{v}{\pi}}}
et  est positive  sur [\sqrt[3]{\frac{v}{\pi}}},+\infty[
  donc en \sqrt[3]{\frac{v}{\pi}}} elle admet un  minimum
OK pour h=x avec ta méthode

Posté par
Labore : Dérivée de pi 05-02-13 à 13:15

Donc  la fonction  S en \sqrt[3]{\frac{v}{\pi}}}  admet un  minimum

Posté par
ludodure : Dérivée de pi 05-02-13 à 13:34

D'accord merci beaucoup !

Posté par
Labore : Dérivée de pi 05-02-13 à 13:56


Rechercher
Menu
Espace membre
39 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1719 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !