A)

1)
Aire du fond: Pi.x²
Aire du couvercle: Pi.x²
Aire latérale: 2.Pi.x.h
-----
2)
Aire totale = Aire latérale + Aire du couvercle + Aire du fond
Aire totale : A(x) =  2.Pi.x.h + 2.Pi.x²
-----
3)
V = Pi.x²h
-----
4)
400 = Pi.x²h
h = 400/(Pi.x²)

A(x) =  2.Pi.x.h + 2.Pi.x²
A(x) =  [2.Pi.x.400/(Pi.x²)] + 2.Pi.x²
A(x) =  (800/x) + 2.Pi.x²
----------
B)

1)
lim(x -> 0+) A(x) = lim(x-> 0+) [(800/x) + 2.Pi.x²] = oo
lim(x -> oo) A(x) = lim(x-> oo) [(800/x) + 2.Pi.x²] = oo
-----
2 et 3)
A'(x) = (-800/x²) + 4.Pi.x
A'(x) = (-800 + 4Pi.x³)/x²

Comme x² > 0 pour x > 0, A'(x) a le signe de -800 + 4Pi.x³

A'(x) = 0 pour 4Pix³ = 800, soit pour x = Racinecubique(200/Pi)

A'(x) < 0 pour x dans ]0 ; Racinecubique(200/Pi)[  -> A(x) est décroissante.
A'(x) >= 0 pour x dans ]Racinecubique(200/Pi) ; oo[ -> A(x) est croissante.
-----
4)
Dessin pour toi.
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5)
Il y a un minimum de A(x) pour xm = Racinecubique(200/Pi)

Avec h = 400/(Pi.x²), il vient:
h0 = 400/[Pi.Racinecubique((200/Pi)²)]

ho/xm = [400/(Pi.Racinecubique((200/Pi)²))] /  Racinecubique(200/Pi)
ho/xm = 400/(Pi.Racinecubique((200/Pi)³))
ho/xm = 400/(Pi.(200/Pi))
ho/xm = 400/200
ho/xm = 2
ho = 2.xm

Pour le volume donné, l'aire totale (et donc la quantité de matière pour faire la boîte) est minimale si la hauteur de la boîte est égale au diamètre de la base de la boîte.
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Sauf distraction.  

Merci baucoup ton aide m'a été d'une tres grande utilité c'est gentil!
encore merci

voici mon ennoncé ( la boite correspond à une boite de conserve de forme cylindrique) :

(G réussi la partie A donc pa besoin de la faire)


A) CALCUL DE LA SURFACE DE FER NECESSAIRE POUR REALISER LA BOITE

1. calculer l'aire du fond, du couvercle et de la partie latérale de la boite en fonction du rayon x et de la hauteur h de la boite ( on suppose x plus grand que 0 et h plus grand que 0)

2. en deduire que l'aire totale A(x) de la boite est égale à :
A(x)= 2xh + 2x²

3. calculer en fonction de x et h le volume Vde la boite.

4. sachant que V= 400cm cube ( 400 cm puissance 3), deduire des questions précedentes que l'aire A(x) peut s'écrire:
A(x)= (800/x)+2x²

B) ETUDE DE LA FONCTION A

1. etudier les limites de la fonction A en 0 ( à droite ) et en + infini

2.calculer A'(x). demontrer que: A'(x)SUPERIEUR OU EGAL à 0 et donc que x SUPERIEUR OU EGAL à racine cubique de (200/Pi) ce qui équivaut à x au cube SUPERIEUR OU EGAL à 200/ Pi

3. en deduire le tableau de variation de la fonction A. préciser la valeur xm (x indice m) pour laquelle la fonction A admet u minimum

4. tracer la courbe représentative de la fonction A sur l'intervalle ]0;10] (pas besoin de le faire)

5. a l'aide de la formule de la question A)3. déterminer la hauteur ho optimale pour la boite.

6. demontrer que ho= 2xm. conclure.

C) UN PEU DE THEORIE:

1.compléter le théorème suivant:

si une fonction f est derivable sur un intervalle I admet un minimum local ( ou maximum local) en x0 distinct des extrémités de I alors ..............

2. faire une figure illustrant ce théorème.

3. appliquer le théorème sur un exemple (simple).

4. la reciproque du théorème est elle vraie? si non, donner un contre exemple


merci d'avance!

*** message déplacé ***

Problème déjà posé.

<A HREF="https://www.ilemaths.net/sujet-derivee-devoir-maison-22485.html">Réponse en cliquant ici</A>









*** message déplacé ***

Merci de ne pas créer des pseudos bidons pour reposter des sujets à l'identique. Surtout quand tu as déjà eu une réponse. Peux tu m'expliquer l'intérêt de la chose à part nous ....... ?