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dérivée, limite

Posté par
pasbois
16-08-14 à 04:09



Bonjour a tous, merci d'avance de votre aide. J'ai de la difficulté avec ce problème :

Soit la fonction :

g(x) = 12x-1,    si x<1
         11   ,  si x=1
         3x2+8,  si x>1

comment trouver la dérivée de la fonction en x=1 à l'aide de la définition suivante :

g'(a) = lim(x->a) (g(x)-g(a))/(x-a)

Merci à tous!

Posté par
Wataru
re : dérivée, limite 16-08-14 à 04:57

Salut,

Ta question est donc de trouver le nombre dérivée de g en 1.
Alors ta question est mal posée... Car pour qu'il y ai UN nombre dérivée, il faudrait que la limite que tu as écrite soit identique à gauche comme à droite (c'est à dire pour x < 1 et x > 1).

Ce qu'il faut faire est donc :

- Calculer la limite quand a < 1
- Calculer la limite quand a > 1
- Si les deux limites sont égales, youpi on a g'(a)
Si les deux limites sont différentes... On a discontinuité de la fonction dérivée en 1. Malheureusement ça arrive ='(

Posté par
Glapion Moderateur
re : dérivée, limite 16-08-14 à 11:05

un petit dessin ?
dérivée, limite

Et comme ça à l'oeil, on voit qu'il y a une rupture de pente et donc que la dérivée à droite n'est pas égale à la dérivée à gauche et donc que la fonction n'est pas dérivable.

Posté par
pasbois
re : dérivée, limite 16-08-14 à 14:13



C'est justement mon problème je calcule les deux limites suivantes :

lim(x->1+) g(x)

lim(x->1-) g(x)

et les deux sont identiques et égales a g(1). Ça ne signifie pas automatiquement que la dérivé existe?

Posté par
Glapion Moderateur
re : dérivée, limite 16-08-14 à 14:37

c'est la limite de l'accroissement pour x tendant vers 1 par valeurs positives puis négatives (g(x)-g(1))/(x-1) qu'il faut trouver. Si tu calcules les limites de g(x) et que tu trouves g(1), ça montre que la fonction est continue mais nullement qu'elle est dérivable en 1.

Posté par
pasbois
re : dérivée, limite 16-08-14 à 16:21


merci! une dernière question...

Quelle sont les conditions à vérifier pour qu'une fonction soit dérivable dans tous les cas?

Posté par
Glapion Moderateur
re : dérivée, limite 16-08-14 à 22:01

Soit elle est composée de fonctions qui sont elles mêmes dérivables dans tous les cas, soit tu montres qu'en tout point la limite de l'accroissement à droite est la même que la limite de l'accroissement à gauche.



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