bonjour LittleFox

merci pour cette énigme

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si n désigne le second entier, c'est le carré de (n²+n-1)

salut

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Bien joué à rijks, carita et carpediem

Qu'est-ce qui pousse à désigner n le second entier? Je trouve plus naturel d'appeler n le premier entier comme rijks l'a fait mais effectivement la décomposition est plus belle avec n qui est le second.

Est-ce qu'on peut trouver le même genre de résultat avec non pas 4 nombres consécutifs mais 1,2,3,5, 6, etc ?

parce que :

1/ dans un produit je préfère toujours (x - n)(x + n) à (x + y)(x + z)

2/ parce que je connais mon cours sur le trinome (connaitre au sens compréhension (donc forme canonique et identité remarquable) et pas je récite bêtement une recette de cuisine)

3/ de 2/ parce que je connais la forme canonique : n(n + 1) et (n - 1)(n + 2) commencent tous les deux par n^2 + n ...

4/ parce que les nombres apparaissant sont "plus petits" et m'évite d'éventuelles fautes de calcul (et les + et les - feront apparaitre des nombres plus petits pour lesquelles les propriétés éventuelles seront plus visibles)

on peut très bien faire le raisonnement avec n(n + 10823)(n + 10824)(n + 20825) ou avec (n + pi - 17)(n + pi - 16)(n + pi - 15)(n + pi - 14) ... mais rien que déjà l'écrire c'est chiant


avec un nombre quelconque d'entiers consécutifs il apparait (au moins) un pb : ce peut être le carré de quelque chose ... mais peut-être pas d'un entier ...

et pour généraliser ben la théorie de polynomes peut nous apporter des info

puisqu'on cherche des polynomes P et Q tels que

et on veut avec p constante (entière ?)

en particulier on règle déjà le pb si le degré de P est impair ...

Bonjour
Un peu de calcul...

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Afin de minimiser les coefs,
(n-2)(n-1)n(n+1) +1
= =( n²-n-1)²
Donc nous aurons toujours un carré.

Bonsoir
C'était facile pour les matheux du site. Je viens de m'amuser dans le même esprit.
Au lieu de nombres consécutifs prenons des nombres espacés de 2. Pour que ça fonctionne on ne peut rajouter un nombre mais une fonction. On obtient :
n(n+2)(n+4)(n+6)+4(4-n)=(n²+6n+4)²
On peut essayer avec des nombres espacés de 3,  de 4, …
On rajoute 81 et ça marche pour un espace de 3 entre les 4 nombres.
n(n+3)(n+6)(n+9)+81=(n²+9n+9)²
On voit qu'une loi se dessine, loi à vérifier pour les valeurs suivantes.

Il y a une erreur ci-dessus.
La loi est :
n(n+a)(n+2a)(n+3a)+a^4 = (n²+3an+a²)²

Bravo à dpi

@carpediem
- Oulà, ok ok, c'est logique d'utiliser n-1
- Merci pour la formalisation, effectivement on cherche un constant et entier. En effet, et les autres coefficients étant tous entiers, doit être entier pour avoir le carré d'un entier...si on cherche le carré d'un entier.
J'ai effectivement aussi repéré assez vite que le degré de P ne pouvait pas être impair. Dans les degrés pair, je n'ai rien trouvé de plus pour l'instant.

@derny
En voilà une autre piste, qui a l'air un peu plus intéressante à approfondir

tout comme ma précédente réponse à LittleFox on peut noter que jongler sur l'écriture permet de découvrir des propriétés élémentaires :

écrire   permet de conclure que

mais écrire    permet de conclure que  


maintenant on peut rejoindre derny

n(n + 1) + p ne peut pas être un carré (à couse du double produit)

n(n + 2) + p est un carré => p = 4 = 2^2

n(n + k) + p est un carré si et seulement si k est pair : k = 2q et p = q^2

et le cas du produit de deux entiers consécutifs ou quelconques est réglé

(bon je l'avoue là c'est niveau collège et je ne me suis pas foulé beaucoup)


passons à  P(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + p = (x^2 + ax + b)^2

de c e qui précède on déduit que :

"on voit" la solution évidente a = 3 (car a ne peut  être 2) donc que b = 1


to be continued ...

Pour le degré 4, on peut conclure en comparant les formes de et :






Et donc

Faire la même chose avec le  degré 6 mène à un système sans solution. Y compris si on cherche un cube parfait au lieu d'un carré.

Une petite variante amusante : est un carré .

J'ai déjà une solution avec

Imod

heu ... quelle est la question ?

Trouver les valeurs de l'entier .

Imod

Imod
C'est un tout autre problème...
Mais il semblerait que les seules solutions soient n {-1,0,3}

Problème intéressant. Rapidement :

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Soit pour tout x réel .

Pour tout x on a (par exemple méthode de Ferrari).

Donc pour tout x positif

Et en développant on trouve pour tout x positif ce qui permet de répondre par l'affirmative au problème posé.

Mais bien entendu, c'est très barbare et il y a sûrement moyen de trouver la factorisation de sans la méthode de Ferrari (ou sans factorisation du tout peut-être). Encore une fois, j'ai pas réfléchi beaucoup.

Les gens au-dessus sont beaucoup moins barbares que moi.

Alishisap : oui : Des carrés en série  

Bonjour,
@Imod,
Pourquoi n'ouvres-tu pas un nouveau sujet pour ta "petite variante amusante" ?

je suppose n positif ...

vérifie

donc

posons   avec  






   pénible ...




bof ... toujours merdique ...
--------------------------------------------------------

je suppose n positif ...

vérifie

donc

si alors    pas de solution

si   alors

et

bof ... on étudie la fonction


si n est négatif on pose

et alors ...

Bonjour,
Finalement, j'ai ouvert un nouveau sujet pour la variante : Une série pour un carré