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Determiner l'équation d'une parabole

Posté par
alyss
05-01-11 à 16:47

bonjour à tous j'aurais besoin d'un peu d'aide sur un exercice qui me pose problème car je n'en est jamais eu de semblable avant je sais que ce que j'ai poster peu paraitre long mais c'est parceque j'ai essayer de vous detailler la manière dont je m'y suis prise j'espere que cela ne vous decouragera pas :voici l'exercice :
déterminer l'équation de la parabole dont le sommet est le point s de coordonné ( 2; -4) et qui passe par le point A de coordonnées ( 3; 0)

j'ai essayer cela
si on recolte les informations on a donc s: (2;-4)
a: (3;0)
f(x)= = ax²+bx+c
si je commence par calculer les racines
*-4= a*2²+b*2+c
-4=4a+2b+c

*2= -b/2a

*0= a*3²+b*3+c
0= 9a+3b+c

apres à partir de 2=-b/2a j'ai essayer de trouver b pour le remplacer dans les autre equation :
2=-b/2a
-4a=b
en remplaçant dans les autres equations cela fais
*-4=4a+2b+c
deviends
-4=4a+2*-4+c
-4=4a-8a+c
-4=-4a+c
et

*0= 9a+3b+c
deviens
0=9a+3*-4+c
0=9a-12a+c
0=-3a+c
apres j'ai fais en les soustrayant pour éliminer les c
-4=-4a+c
0=-3a+c
deviens
-4=-1a
4=a

Après je n'ai aucune idée de comment trouver b puis c si quelqu'un pourrait me venir en aide il est le bienvenu car je rame ….
merci d'avance à tous ceux qui prendront le temps de m'aider

Posté par
dhalte
re : Determiner l'équation d'une parabole 05-01-11 à 16:52

Parfait

très (trop) détaillé

mais l'important est d'arriver au bon résultat.

J'espère que tu as ensuite dessiné au brouillon (ou sur la calculette) le graphe de la parabole pour vérifier que ça "collait" avec l'énoncé.

Posté par
dhalte
re : Determiner l'équation d'une parabole 05-01-11 à 17:14

En fait, il y a plusieurs manières de répondre à ce problème.

La première est la tienne.

Ensuite, on peut aussi rappeler que la fonction f(x)=ax²+bx+c peut aussi s'écrire

f(x)=a(x-s)²+S, où (s,S) est justement le sommet de la parabole (le "sommet" en est un si a < 0, c'est un minimum si a>0)

Puisqu'ici, ce sommet est (2;-4), on a immédiatement

f(x)=a(x-2)²-4

Et maintenant, il faut que le graphe passe par (3,0) alors f(x) doit vérifier aussi
f(3)=0, donc
a(3-2)²-4=0, ce qui donne a=4

Et comme tu es en première et que tu as vu les dérivées, tu peux aussi utiliser le fait qu'on sommet de la parabole il y a une tangente horizontale.
Cette dernière méthode est générale, et pas liée à la parabole comme les deux précédentes.

Alors la fonction dérivée de f(x)=ax²+bx+c est f'(x)=2ax+b

Et donc comme au point d'abscisse 2, on a une tangente horizontale, f(x) doit vérifier
f'(2)=0 (il s'agit bien de la fonction dérivée)

Donc on résume :

le graphe passe par (2;-4) : f(2)=-4
il passe par (3;0) : f(3)=0
il admet une tangente horizontale au point d'abscisse 2 : f'(2)=0

ce qui donne
4a+2b+c=-4
9a+3b+c=0
4a+b=0

de la dernière équation, on obtient b=-4a
on reporte cette valeur de b dans les deux premières équations et on simplifie
4a-8a+c=-4
9a-12a+c=0

C'est à dire
-4a+c=-4
-3a+c=0

De la deuxième équation, on retire que c=3a
Et ensuite, cela permet de calculer a=4, puis b=-16, puis c=12


Cette dernière méthode est plus longue, mais elle peut s'appliquer à beaucoup plus d'exercice que ceux qui portent sur une parabole.
Donc si on est courageux, retenir les propriétés de la parabole pour résoudre rapidement un exercice portant sur la parabole,
et retenir la méthode générale pour les autres exercices de graphe avec des points et des tangentes imposés.

Determiner l\'équation d\'une parabole

Posté par
dhalte
re : Determiner l'équation d'une parabole 05-01-11 à 17:18

C'est fou, la première fois que je t'ai lu, j'ai cru que tu étais arrivée au résultat. Mais non.

Tu as obtenu a=4 : exact;

Aavant tu avais obtenu -4a=b : il suffisait d'utiliser a=4 pour calculer b=-16 : c'était tellement évident que j'ai cru que tu l'avais fait !

Et une autre équation que tu avais obtenue était : -3a+c=0, idem, on a alors c=3a=12

Dingue que tu te sois arrêtée si près du but.

Posté par
alyss
re : Determiner l'équation d'une parabole 05-01-11 à 17:23

Merci beaucoup dhalte d'avoir pris le temps de me repondre ! et désoler de mon retard en tout cas je suis contente que pour un premier exercice j'etais sur le bonne voie en tout cas ta methode est bien plus rapide et clair mais j'aimerais bien voir comment trouver b et c avec "ma" methode histoire de comprendre et pouvoir par le futur employer les 2 en tout cas merci de m'avoir repondu

Posté par
dhalte
re : Determiner l'équation d'une parabole 05-01-11 à 17:27

Peut-être prendras-tu le temps de lire mes posts très complets qui précèdent.

Après cela, reviens me voir avec tes questions au besoin.

Posté par
alyss
re : Determiner l'équation d'une parabole 05-01-11 à 17:29

Ho Merci encore à toi tu as été plus rapide que moi pour repondre ^^
c'est vrai que vous lire ma fais soutire car enfin de compte c'est beaucoup moin dur que je ne le croyais mais je pense que moi même je me suis perdu dans mes details :p
en tout cas merci encore à toi c'est gentil et j'aurais decouvert une autre methode encore merci et bonne soirée

Posté par
alyss
re : Determiner l'équation d'une parabole 05-01-11 à 17:31

désoler je n'avais pas vu ta reponse du dessus car j'etait entrain de d'ecrire ma question quand tu as poster  :p encore merci a toi

Posté par
dhalte
re : Determiner l'équation d'une parabole 05-01-11 à 17:45

no problemo
bosse la technique de la tangente, tu vas en avoir besoin rapidement.

Posté par
alyss
re : Determiner l'équation d'une parabole 05-01-11 à 17:49

pas de problème bonne soirée !



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