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Déterminer maxima , minima et points d'inflexions

Posté par
karine28
26-03-12 à 15:08

Bonjour

Voici la question :

Déterminez les abscisses des maxima, des minima et des points d'inflexion de la fonction suivante :
y = x4+6x3-5

je vais essayer de passer par la dérivée seconde.

y'= 4x3+18x2

donc y''= 12x2+ 36x

Y'' s'annule en x=-3 et x=0

Maintenant je sais pas trop ce que ca veut dire de trouver maxima, minima et points d'inflexion et comment les trouver.
Merci beaucoup: )

Posté par
karine28
re : Déterminer maxima , minima et points d'inflexions 26-03-12 à 15:08

oups je me suis trompée de forum ...

Désolée c'était pour des dévirée et non limite

Posté par
Priam
re : Déterminer maxima , minima et points d'inflexions 26-03-12 à 15:18

Pourquoi "trompée de forum " ?

Posté par
malou Webmaster
re : Déterminer maxima , minima et points d'inflexions 26-03-12 à 15:18

re bonjour Karine,

alors, ce que je t'avais envoyé l'autre jour

Citation :
max en a pour f'(a) = 0 et f"(a)< 0 (car donne concavité vers le bas)
et
min en a pour f'(a) = 0 et f"(a) > 0 (car concavité vers le haut)


va te permettre de voir si c'est un max ou un min en a qui annule la dérivée 1re

et point d'inflexion : c'est la dérivée seconde qui s'annule

voilà !

Posté par
karine28
re : Déterminer maxima , minima et points d'inflexions 26-03-12 à 15:33

Merci malou

j'ai de la difficulté a comprendre la citation.

Par exemple j'ai Y'' s'annule en x=-3 et x=0

max en a pour f'(a) = 0 et f"(a)< 0 (car donne concavité vers le bas)
et
min en a pour f'(a) = 0 et f"(a) > 0 (car concavité vers le haut)

donc si je dis x=-3
f'(-3) = -108 + 162
f'(-3) = 54 donc c'est pas un min ni un max ? mais seulement un point d'inflexion?

Si je dis x=0
f'(0) = 0
f''(0) = 0 encore ... ce n'est donc ni un min ni un max car f'' s'annule aussi?

je n'ai donc ni maxima ni minima mais seulement 2 points d'inflexions?

Posté par
malou Webmaster
re : Déterminer maxima , minima et points d'inflexions 26-03-12 à 15:46

attends...

tu passes trop vite "au dessus" de ce que te fournit ta dérivée première comme indications

y'= 4x3+18x²=2x²(2x+9)

ta dérivée première s'annule pour x²=0 ou x=-9/2

soit pour
x=0 ou x=-9/2

pour 0
la dérivée seconde vaut effectivement 0, (ce n'est ni un max, ni un min,) c'est un point d"inflexion

pour x=-9/2
tu calcules f"(-9/2) et tu vas savoir si c'est un min ou un max

OK ?

Posté par
malou Webmaster
re : Déterminer maxima , minima et points d'inflexions 26-03-12 à 15:51

et sur la courbe, tu vois qu'en 0, tu as un point d'inflexuion
et qu'en -9/2, tu as un mini

et qu'il n'y a rien d'autre à voir en tant que min, max ou point d'inflexion...

OK ?

Déterminer maxima , minima et points d\'inflexions

Posté par
karine28
re : Déterminer maxima , minima et points d'inflexions 26-03-12 à 16:06

ha ok je fais un test sur la première dérivée ... humm je comprend ton explication.

j'ai donc

y'= 4x3+18x2
y''= 12x2+ 36x

max en a pour f'(a) = 0 et f"(a)< 0 (car donne concavité vers le bas)
et
min en a pour f'(a) = 0 et f"(a) > 0 (car concavité vers le haut)

f''(-9/2) = 12(81/4) - 162
f''(-9/2) = 243
donc x=-9/2 serait un minimum

f''(0) = 0 + 0 donc 0 c'est un point d"inflexion en suivant les règles que tu m'a inscris.

Par contre lorsque je fais le teste de la dérivée seconde que sa s'annule en x=-3 ce qui n'est pas le cas pour la dérivée première.
Le point x=-3 serait t'il aussi un point d'inflexion ou un maximum ? est-ce que je peux faire un test qui me permettre de savoir ce qui caractérise ce point?

Merci encore pour ton aide

Posté par
malou Webmaster
re : Déterminer maxima , minima et points d'inflexions 26-03-12 à 16:51

alors, une fois que tu as tiré toutes les informations possibles grâce à ta dérivée première, tu peux terminer de travailler avec la dérivée seconde

point d'inflexion : dérivée seconde qui s'annule en changeant de signe

y"=12x²+36x
y"=12x(x+3)
s'annule en 0 et en -3

signe
-3 0
- 0 + 0 -

donc tu as une dérivée seconde qui s'(annule 2 fois en changeant de signes, donc tu as bien 2 points d'inflexion

voilà !

Posté par
malou Webmaster
re : Déterminer maxima , minima et points d'inflexions 26-03-12 à 16:58

Déterminer maxima , minima et points d\'inflexions

j'ai mis le point A d'abscisse 3
et j'y ai tracé la tangente
voilà ce que ça donne

point d'inflexion : tu as une courbe qui "traverse" sa tangente (puisque au niveau du point de tangence, tu as un changement de concavité)

Posté par
karine28
re : Déterminer maxima , minima et points d'inflexions 26-03-12 à 17:05

Haha c'est ce calcul que tu avais fait la dernière fois que je comprenais pas trop.

Pour trouver mon tableau des signes comem tu as fait plus bas, je dois dire f(-4), f(-1) etc.. oubien f''(-4), f''(-1)?

signe
   -3    0
-  0  +  0  -

ouff c'est mélangeant tout ça pour ma petite tête.

Posté par
malou Webmaster
re : Déterminer maxima , minima et points d'inflexions 26-03-12 à 17:17

alors, en France, dans les programmes, on apprend ça aux élèves
un polynôme du second degré (12x²+36x) est du signe du coefficient de x² à l'extérieur des solutions si elles existent

ici, ses solutions sont -3 et 0
le coeff de x² est 12 qui est > 0

donc je positionne mes deux solutions, -3 et 0
et je mets des + à l'extérieur et un moins entre les solutions
d'où le signe sans faire d'étude particulière

ça va ?

Posté par
karine28
re : Déterminer maxima , minima et points d'inflexions 26-03-12 à 17:32

Désolée

"et je mets des + à l'extérieur et un moins entre les solutions
d'où le signe sans faire d'étude particulière"

je comprends pas pourquoi tu mets des + a l'extérieur et un - au centre et encore moins pourquoi ça donne l'inverse au final :

signe
   -3    0
-  0  +  0  -


J'ai jamais compris d'ou venait cela et pourtant cela semble si évident pour vous haha

Posté par
malou Webmaster
re : Déterminer maxima , minima et points d'inflexions 26-03-12 à 17:34

mea culpa...je me suis trompée en écrivant les signes;...ça n'aide pas...!....

-3 0
+ 0 - 0 +

je vais t'envoyer un exemple détaillé après...

Posté par
malou Webmaster
re : Déterminer maxima , minima et points d'inflexions 26-03-12 à 17:39

exemple
2(x-1)(X+3)

si tu développes
2x²+4x-6

donc polynôme du second degré qui s'annule pour -3 et 1

pour connaitre le signe, il faudrait faire un tableau de signe

x -3 1
signe de 2
signe de (x-1)
signe de (x+3)
signe du produit

et en faisant ça complètement, tu remarques que à la dernière ligne, tu as toujours le signe de 2 (ici +) à l'extérieur des solutions, et signe contraire entre les solutions

et bien sûr cela se démontre dans le cas général

car si ton polynôme s'annule pour deux valeurs x' et x"
cela veut dire qu'on peut le factoriser en a(x-x')(x-x") avec a coeff de x²

et à la dernière ligne du tableau, on retrouve le signe de "a" à l'extérieur des solutions
voilà d'où cela vient!



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