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Déterminer trois réels
Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant :
1) Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout réel x différent de 0, de -1 et de -2
1/[x(x+1)(x+2)] = a/x+b/(x+1)+c/(x+2)
J'ai trouvé : x2(a+b+c) + x(3a+2b+c) + 2a = 1
J'ai ensuite pris trois cas, pour x=1, x=2 et x=3, ce qui m'a donné respectivement les égalités suivantes :
6a+3b+2c=1
12a+8b+6c=1
20a+15b+12c=1
Le but était d'avoir trois égalités pour pouvoir calculer mes trois inconnues.
Je l'ai fait mais j'ai trouvé un résultat farfelu qui de toute évidence n'est pas le bon et je n'ai pas d'autre piste.
2) En déduire que la somme Sn=
n i=1 1/[i(i+1)(i+2)] où n est un entier naturel non nul, a une limite lorsque n tend vers +
Merci d'avance de votre attention et de votre aide !
Bonjour
ça c'est bon
x²(a+b+c) + x(3a+2b+c) + 2a = 1
soit le système (par identification des coefficients en x², en x et en constante)
a+b+c=0
3a+2b+c=0
2a=1
Merci de votre réponse !
J'ai trouvé grâce à ce système d'équations :
a=1/2, b=-1 et c=1/2.
Mais je ne comprends pas bien pourquoi je faire une identification des coefficients en x2, en x et en constante...
J'ai compris !
C'est juste que j'avais l'habitude de ce genre d'exercice avec un coefficient devant le x2 et un coefficient devant le x, et que là ils sont tous deux égaux à 0.
Du coup j'essaie de trouver le 2).
J'ai tendance à penser que Sn a une limite en 0 lorsque n tend vers +, mais juste par le calcul de la formule que l'on me donne pour Sn, et je ne fais aucune "déduction" alors que c'est demandé.
Où est-ce que je me trompe ?
tu as donc montré que
tu peux écrire les uns sous les autres les termes de cette somme
pour i=1
pour i=2
pour i=3
....
tu vas voir apparaître des simplifications
J'ai tendance à penser que Sn a une limite en 0
les termes de la somme tendent vers 0, oui mais tu en ajoutes une infinité donc le résultat ne peux pas être nul (ne serait-ce que parce que c'est une somme de termes positifs, donc ça peut difficilement tendre vers 0)
l'esprit de l'exercice est de remplacer les termes de la somme
1/[i(i+1)(i+2)] par 1/(2i) - 1/(i+1)+ 1/(2(i+2)) et de regarder s'il y a des termes qui s'annulent, et trouver ceux qui restent.
si je ne me suis pas trompé, on trouve
(et on voit que ça tend vers 1/4 d'ailleurs)
Bonsoir Malou, bonsoir Glapion,
Merci de vos réponses ! J'ai dû arrêter cet après-midi mais là, je recommence à chercher.
Pour l'instant, je ne vois pas comment arriver au résultat de Glapion mais j'ai bien compris pourquoi la limite ne pouvait pas tendre vers 0.
D'ailleurs, vu que c'est 1/6 pour i=1, et qu'ensuite il y a effectivement d'autres termes positifs qui se rajoutent, ça augmente forcément.
A propos des conseils de Malou, j'ai fait les calculs et j'ai trouvé ceci :
1/2-1/2+1/6
1/4-1/3+1/8
1/6-1/4+1/10
1/8-1/5+1/12
...
1/(2(n-2))- 1/(n-2+1)+1/[2(n-2+2)]
1/(2(n-1))- 1/(n-1+1)+1/[2(n-1+2)]
1/(2(n))- 1/(n+1)+1/[2(n+2)]
Malheureusement, je ne vois pas où ça me mène même si je sens que c'est sans doute très simple, alors je continue à chercher...
Merci d'avance de votre aide si vous pouvez m'aider encore un tout petit peu 
ok
cela va se simplifier "en diagonale"
1re ligne le 1/6
2e ligne -1/3
3e ligne le 1/6
etc...
il ne restera que quelques termes qd tu auras fait tes simplifications
....
Bonjour,
Merci Malou pour l'indication. C'était en effet très simple mais je n'avais pas imaginé qu'on puisse associer trois termes pour simplifier... je le saurai pour une prochaine fois !
Je trouve donc 1/(2n+2) - 1/(n+1) + 1/(2n+4) + 1/4
Et je vois bien que les trois premiers termes tendent vers 0 quand n tend vers l'infini, donc le total tend vers 1/4.
En simplifiant, je trouve bien le n(n+3)/[4(n+1)(n+2)] de Glapion, que je peux redévelopper en n2+3n/[4(n2+3n+2)], ce qui tend bien vers 1/4.
Donc je crois que j'ai tout compris.
Encore un grand merci pour votre aide et bonne journée !
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