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déterminer une équation de cercle

Posté par
southward1611
14-03-06 à 14:37

Bonjour ! on a traité différent problèmes de détermination d'une équation de cercle avec différentes hypothèses mais je n'arrive pas à le faire juste avec 3 points dont on connait les coordonnées. j'espère que vous pourrez m'aider.

je dois déterminer une équeation du cercle C circonscrit au triangle ABC, avec A(-2;5), B(4;-8), C(3;7)...
voila au début j'ai calculé les dimensions du triangle, mais comme ce n'est pas un triangle rectangle, je me suis rendu que ca servait à rien.
donc la j'ai posé M(x;y) centre du cercle donc AM=BM=CM, et j'ai calculé ces longueurs en fonction de x et y... mon but maintenant est de mettre en relation tout ca pour trouver les coordonnées du centre mais j'y arrive pas !!
Quelqu'un pourrait m'aider  ???
merci

Posté par philoux (invité)re : déterminer une équation de cercle 14-03-06 à 14:40

bonjour

1° détermine le centre du cercle, I, par intersection des médiatrices

2) calcule IA (par exemple) pour obtenir le rayon

sinon méthode avec le produit scalaire...

Philoux

Posté par
tortue
déterminer une équation d un cercle 14-03-06 à 15:49

je pense que tu es sur la bonne voie, la méthode de philoux me semble bien compliquée en calcul surtout.

tu obtiens 2 équations à 2 inconnues x et y que tu résouds. (en fait pour simplifier tu dois écrire
AM²=BM²=CM² . Tu peux ainsi raisonner sans les racines carrées.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : déterminer une équation de cercle 14-03-06 à 16:15

Soit I(X ; Y) le centre du cercle.

AI² = (X+2)² + (Y-5)²
BI² = (X-4)² + (Y+8)²
CI² = (X-3)² + (Y-7)²

Or on a AI = BI = CI, soit AI² = BI² = CI² --> le système:

(X+2)² + (Y-5)² = (X-4)² + (Y+8)²
(X+2)² + (Y-5)² = (X-3)² + (Y-7)²

X²+4X+4+Y²-10Y+25 = X²-8X+16+Y²+16Y+64
X²+4X+4+Y²-10Y+25 = X²-6X+9+Y²-14Y+49

12X-26Y = 51
10X+4Y = 29

Qui donne:  
X = (51+26Y)/12
10.(51+26Y)/12 +4Y = 29
10.(51+26Y) +48Y = 29*12
510 + 308Y = 348
Y = -162/308 = -81/154
X = (51 -26*81/154)/12
X = (51*154 - 26*81)/(12*154)
X = 5748/1848 = 479/154

Le centre est I(479/154 ; -81/154)

R² = AI² = (479/154 + 2)² + (-81/154 -5)²
R² = (787/154)² + (851/154)² = 1343570/23716 = 671785/11858

L'équation du cercle est (x - (479/154))² + (y + (81/154))² = 671785/11858
-----
Sauf distraction.  

Posté par
southward1611
re : déterminer une équation de cercle 14-03-06 à 16:24

Merci !! (au moins je sais que c'est possible) mais les résultats sont un peu... pas très communs... je vais le refaire moi-même.
MERCI A TOUS !!

Posté par philoux (invité)re : déterminer une équation de cercle 14-03-06 à 17:38

bonjour

Pour montrer à tortue que la méthode n'est pas si compliquée :

droite AB : y=ax+b avec A(-2;5) et B(4,-8) => y=(-13/6)x+4/6
milieu de AB : D(1;-3/2) => médiatrice de AB   d: y=(6/13)x+b => y=(12x-51)/26

droite BC : y=ax+b avec C(3;7) et B(4,-8) => y=-15x+52
milieu de CB : E(7/2;-1/2) => médiatrice de CB  d': y=(x/15)+b => y=(x-11)/15

le point I, centre du cercle, = (d)inter(d') => I(479/154; -81/154)

il ne reste plus qu'à calculer le rayon, par IA par exemple

IA²=(-2-479/154)²+(5+81/154)²=1343570/154² => R = (V1343570)/154

d'où le cercle :

(x-479/154)² + (y+81/154)² = 1343570/154²

Etait-ce si compliqué ?

Philoux

Posté par
tortue
déreminer une équation de cercle 15-03-06 à 13:43

quand je dis compliqué, c'est que j'avais calculé l'équation de la médiatrice à partir du point milieu du segment et du centre du cercle. Cela me donnait effectivement des calculs très compliqués. Ta méthode est effectivement beaucoup plus simple. Toutes mes excuses
tortue

Posté par philoux (invité)re : déterminer une équation de cercle 15-03-06 à 15:51

pas de souci, tortue

Philoux



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