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Deux bidules simples et très utiles en géométrie

Posté par amethyste 27-12-14 à 03:08

Deux bidules simples et très utiles en géométrie

premier bidule

un truc hyper utile en géométrie et pourtant très simple

démontrer que $\cos(2\pi.v)-\cos(2\pi.w)=0$ avec $w=\frac {\pi}{4.v}$

pour $\forall u\in \{1,-1\}$ et $\forall n\in \mathbb {Z}$ et

$\forall v\in \{\frac {n+u.\sqrt {n^2+\pi}}{2},\frac {2+n^2+u.\sqrt {(n^2+2)^2-\pi}}{2}\}$

et démontrer que

lorsque $v= \frac {n+u.\sqrt {n^2+\pi}}{2}$ alors $v-w\in \mathbb {Z}$

lorsque $v= \frac {2+n^2+u.\sqrt {(n^2+2)^2-\pi}}{2}$ alors $v+w=2+n^2\in \mathbb {N}-\{0,1\}$

démo ->

en utilisant la formule trigo $cos(a)-cos(b)=-2.\sin \begin{pmatrix}\frac {a+b}{2}\end{pmatrix}.\sin \begin{pmatrix}\frac {a-b}{2}\end{pmatrix}$

alors $\cos(2\pi.v)-\cos(2\pi.w)=-2.\sin\begin{pmatrix}\frac {2.\pi.v+2\pi.w}{2}\end{pmatrix}. \sin \begin{pmatrix}\frac {2.\pi.v-2\pi.w}{2}\end{pmatrix}$

on obtiens l'équivalence logique

$(\sin(\pi.v+\pi.w)\neq 0 AND \sin(\pi.v-\pi.w)\neq 0) <=> (\cos(2\pi.v)-\cos(2\pi.w)\neq 0)$

il résulte que l'on obtiens les deux équivalences logiques

$\sin(\pi.v+\pi.w)= 0  <=> \exists k\in  \mathbb{Z}$ , $\pi.v+\pi.w=\pi.k$ , $v+w=k$

$\sin(\pi.v-\pi.w)= 0  <=> \exists k\in  \mathbb{Z}$ , $\pi.v-\pi.w=\pi.k$ , $v-w=k$

et selon v+w=k on obtiens l'équation $v^2-k.v+\frac{\pi}{4}=0$

et donc les racines $v_i=\frac {k\pm \sqrt {k^2-\pi}}{2}$

et selon v-w=k on obtiens l'équation $v^2-k.v-\frac{\pi}{4}=0$

et donc les racines $v_i=\frac {k\pm \sqrt {k^2+\pi}}{2}$

de sorte que

pour $v= \frac {n\pm\sqrt {n^2+\pi}}{2}$   on obtiens $v^2-n.v-\frac{\pi}{4}=0$ avec   $\forall n\in \mathbb {Z}$

pour $v= \frac {k\pm\sqrt {k^2-\pi}}{2}$   on obtiens $v^2-k.v+\frac{\pi}{4}=0$ avec $k=2+n^2\in \mathbb {N}-\{0,1\}$ et $\forall n\in \mathbb {Z}$

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deuxième bidule

pas de démo ici mais elle est très simple à réaliser grâce à la première démo

$\mathfrak {F}$ est un ensemble de cardinal $card (\mathfrak {F})=2^{\aleph _0}$

dont les éléments sont des applications $f:\mathbb {R}->\mathbb {R}$ de classe $C^{\infty}$

ces applications telles qu'en se donnant   $p_1,p_2,q_1,q_2,q^{\prime}_1,q^{\prime}_2$ dans   $\mathbb {R}$ et tels que $p_1<p_2$

on vérifie toujours   $f(p_1)=q_1$ , $f(p_2)=q_2$ ,   $f^{\prime}(p_1)=q^{\prime}_1$ ,   $f^{\prime}(p_2)=q^{\prime}_2$

cet ensemble $\mathfrak {F}=\{f:\mathbb{R}->\mathbb{R}$ $\|u \in \{1,-1\}$ $\| n \in \mathbb{Z}$ $\| k \in \mathbb{N}^*pair$ $\| \lambda \in\mathbb{R}$ $\| \lambda \in ]0;1[\|$ $w.\sin(2.\pi.w)-v.\sin(2.\pi.v)\neq 0   \}$

résolution des éléments de $\mathfrak {F}$

$f(x)=f_1(x)f_2(x)(f_3(x)+f_4(x)-\frac{q}{p}.x+\frac{q}{p}.p_1-q_1)+\frac{q}{p}.x-\frac{q}{p}.p_1+q_1$

avec les applications  de classe $C^{\infty}$

$f_1:\mathbb {R}->\mathbb {R}$ , $f_2:\mathbb {R}->\mathbb {R}$ ,   $f_3:\mathbb {R}->\mathbb {R}$ et $f_4:\mathbb {R}->\mathbb {R}$

définies selon

$f_1(x)=\frac {1}{2} .\cos (w_1.(x-p_1))+\frac {1}{2}$

$f_2(x)=\frac {-\lambda}{2} .\cos (w_2.(x-p_1)+\pi)-\frac {\lambda}{2}+1$

$f_3(x)=q_1+q.\sin(2^{-1}.\pi.p^{-1}.(x-p_1))+(2^{-1}.\pi^{-1}.q^{\prime}_1 .p-4^{-1}.q).\sin (2.\pi.p^{-1}.(x-p_1))$

$f_4(x)=2^{-1}.\pi^{-1}.p.a.\frac {\cos (v.h(x))-\cos (w.h(x))}{w.\sin(2.\pi.w)-v.\sin(2.\pi.v)}$

avec l'application $h(x)=2.\pi.p^{-1}(x-p_1)$

et les valeurs: $a,p,q,r,v,w,w_1,w_2$ selon

$p=p_2-p_1$

$q=q_2-q_1$

$r=q^{\prime}_2-q^{\prime}_1$

$a=2^{-1}.\pi.p^{-1}.q+r$

$w_1=\frac {k.\pi}{p}$

$w_2=\frac {2.\pi}{p}$

$w=\frac {\pi}{4.v}$

$v\in \{\frac {n+u.\sqrt {n^2+\pi}}{2},\frac {2+n^2+u.\sqrt {(n^2+2)^2-\pi}}{2}\}$

Posté par re : Deux bidules simples et très utiles en géométrie 27-12-14 à 10:30

Bonjour

Enfantin en effet....

Posté par re : Deux bidules simples et très utiles en géométrie 27-12-14 à 12:50

Salut,
Moi, c'est le côté "très utile" qui m'interloque...

Posté par re : Deux bidules simples et très utiles en géométrie 27-12-14 à 13:08

salut , non mais en fait on va s'en servir dans un prochain post

l'ensemble de ces applications serviront comme outils mais là je n'aurai qu'à citer en lien cet outil car déjà le prochain post sera un peu long et j'ai pensé que ça serai plus cool en postant ce bidule à part

c'est aussi un peu pour ça que je dit "très utile" et déjà là vous pouvez en apprécier l'utilitée, n'est-ce pas?

Posté par re : Deux bidules simples et très utiles en géométrie 27-12-14 à 13:45

Citation :
déjà là vous pouvez en apprécier l'utilitée, n'est-ce pas?

Aucun doute là dessus

Citation :
déjà le prochain post sera un peu long

Ah ?
Au moins cinq - six lignes ?

Posté par re : Deux bidules simples et très utiles en géométrie 12-04-15 à 13:49

salut Yzz

bah en fait ces deux trucs utiles en géométrie m'ont servis pour construire ça là trajectoires dans le plan

d'ailleurs ça sert aussi pour decrire des trajectoires dans l'espace selon ce qui est dit là sur ce fil ici formellement mathématiquement parlant

fil sur lequel je me suis planté sur une decomposition de vecteur d'ailleurs car en ce qui me concerne faire un truc de tête comme ça me fait dire des grosses conneries lesquelles ont étés relevées par Robot

bref j'ai  dit là  une grosse connerie sans reflechir comme ça m'arrive des fois surtout en ecrivant de ce que j'ai dans la tête sans passer par le mode  : reflexion en lisant ce que j'ecris sur le papier

à la différence des cas où je dit de vrais conneries car je ne maitrise pas mon sujet comme ici là sur ce fil (mais depuis j'ai travaillé dessus)   Définition alternative d'espace affine

---> cependant avant de finaliser avec cela formellement mathématiquement parlant(d'autant plus que personne ne me demande rien ) j'ai un autre truc utile à faire en logique  et dont l'utilité ne sera pas montrée tout de suite comme ici je n'ai pas montré l'utilité en géometrie de ce fil immediatement