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formellement mathématiquement parlant

Posté par Profil amethyste 20-12-14 à 09:43

Bonjour et merci d'avance

je désirai savoir si formellement mathématiquement parlant le problème posé ci-dessous en 1)  est correctement modélisé en 2)

ici il ne s'agit pas de résoudre ce problème mais de savoir si le problème posé mathématiquement dans la traduction de celui-ci est correct

mon manque de vocabulaire mathématique me fait douter de l'emploie de l'expression application différentielle pour le modèle proposé  


1) problème tel qu'il est donné et non mathématiquement formalisé

je dispose d'un polyèdre de sommets quelconques mais préalablement choisis \alpha , \beta  , \gamma  , \lambda

se déplaçant dans l'espace conformément aux lois de la mécanique newtonnienne classique

(j'entend par là un mouvement continue analogue au mouvement d'un objet complètement rigide et macroscopique quelconque soumis à diverses forces quelconques)

et dont on considère sa trajectoire entre le moment t_0 où ce polyèdre est situé tels que

le sommet  \alpha coincide avec la position d'un point \alpha_0

le sommet  \beta coincide avec la position d'un point \beta_0
  
le sommet  \gamma coincide avec la position d'un point \gamma_0

le sommet  \lambda coincide avec la position d'un point \lambda_0

et entre le moment t_1 où ce polyèdre est situé tels que

le sommet  \alpha coincide avec la position d'un point \alpha_1

le sommet  \beta coincide avec la position d'un point \beta_1
  
le sommet  \gamma coincide avec la position d'un point \gamma_1

le sommet  \lambda coincide avec la position d'un point \lambda_1


2) problème équivalent et mathématiquement formalisé

soient \{A,M\} et \{B,N\} deux repères de l'espace affine euclidien à trois dimensions \mathbb {R}^3

le point A étant le point origine du repère \{A,M\} et le point B étant le point origine du repère \{B,N\}

M et N étants deux bases de l'espace vectoriel euclidien \mathbb {R}^3

on considère une application différentielle f qui à tout élément de \mathbb {R} fait correspondre un repere  \{C,L\}

on represente sous une forme d'ecriture matricielle les points P et les bases Q par la notation

la matrice [P] qui represente le point P est une (1\times 3) matrice (matrice de 3 lignes et d'une seule colonne ) à valeur sur \mathbb {R}

la matrice [Q] qui represente la base Q est une (3\times 3) matrice carrée inversible à valeur sur \mathbb {R}

par ailleurs les points A et B sont tels que A=\alpha_0 et B=\alpha_1

par ailleurs les bases M et N sont telles que  

\vec {M_1}=\vec {\alpha_0\beta_0}

\vec {M_2}=\vec {\alpha_0\gamma_0}

\vec {M_3}=\vec {\alpha_0\lambda_0}

\vec {N_1}=\vec {\alpha_1\beta_1}

\vec {N_2}=\vec {\alpha_1\gamma_1}

\vec {N_3}=\vec {\alpha_1\lambda_1}

et enfin l'application f est telle que f(0)=\{A,M\} et f(1)=\{B,N\} et on admettra que x \in \mathbb {R} correspond au moment t_x et telle que aussi

\forall x \in \mathbb {R} et \forall y \in \mathbb {R} et \forall [V] est une (1\times 3) matrice (matrice de 3 lignes et d'une seule colonne ) à valeur sur \mathbb {R}

de plus on note f(x)=\{C_x,L_x\} et f(y)=\{C_y,L_y\} où ici on considère les matrices [L_x] et [L_y] qui représentent les bases respectivement L_x et L_y

alors on vérifie l'égalitée du produit matriciel [L_x]^{-1}.[V] = [L_y]^{-1}.[V]

Posté par
Robot
re : formellement mathématiquement parlant 20-12-14 à 10:18

Le dernier paragraphe n'a pas de sens.
Prends donc un bon manuel de mécanique. ca te fera gagner du temps.

Posté par Profil amethystere : formellement mathématiquement parlant 20-12-14 à 10:20

merci Robot mais quel dernier paragraphe?

peut tu me citer?

Posté par Profil amethystere : formellement mathématiquement parlant 20-12-14 à 10:26

merci Robot mais quel dernier paragraphe?

peut tu me citer?

ceci dit je sais résoudre ce problème partiellement posé d'ailleurs car je ne recherche pas sa solution puisque je la connais

sinon j'ai oublié de dire

Citation :
la matrice [Q] qui represente la base Q est une (3\times 3) matrice carrée inversible à valeur sur \mathbb {R}

et ses colonnes représentent des vecteurs , le vecteur \vec {Q_i} qui correspond à la i ème colonne de la matrice [Q]

Posté par Profil amethystere : formellement mathématiquement parlant 20-12-14 à 11:02

bon j'ai trouvé

la bonne expression aurait été "une application f qui admet une différentielle" et non pas ce que j'ai dit

pour le reste c'est ok!

fin du fil et encore merci!!

Posté par Profil amethystere : formellement mathématiquement parlant 20-12-14 à 11:16

...oui effectivement Robot j'ai écris  trop vite et sans reflechir correctement (en fait j'ai fait ça de tête)

la derniere expression (l'egalite avec la decomposition d'un vecteur v) est completement invalide

bon aucune importance ce fil est résolu!

Posté par Profil amethystere : formellement mathématiquement parlant 20-12-14 à 11:29

ceci dit je corrigerai la derniere expression (mon histoire de decomposition avec un vecteur V) completement absurde

... tout à l'heure car là je dois partir

Posté par Profil amethystere : formellement mathématiquement parlant 20-12-14 à 13:22

voilà j'ai corrigé la grosse erreur de la fin (j'avais fait ça de tête à la va vite)

et enlevé les lourdeurs

encore merci


2) problème équivalent et mathématiquement formalisé

soient \{A,M\} et \{B,N\} deux repères de l'espace affine euclidien à trois dimensions \mathbb {R}^3

le point A étant le point origine du repère \{A,M\} et le point B étant le point origine du repère \{B,N\}

M et N étants deux bases de l'espace vectoriel euclidien \mathbb {R}^3

on considère une application f qui admet une différentielle qui à tout élément x de \mathbb {R} fait correspondre un repere  \{C(x),L(x)\}

en fait f associe à un réel x une matrice 3x1 C(x) qui represente le point origine du repere et une matrice inversible 3x3 L(x) qui represente une base de l'espace vectoriel \mathbb {R}^3

par ailleurs les points A et B sont tels que A=\alpha_0 et B=\alpha_1

par ailleurs les bases M et N sont telles que

où entre parenthèse on considère les vecteurs \vec {M_i} et  \vec {N_i} dont les composantes correspondent aux composantes des i ème colonnes des matrices respectivement  M et N  (matrices donc qui représentent les bases M et N)

\vec {M_1}=\vec {\alpha_0\beta_0}

\vec {M_2}=\vec {\alpha_0\gamma_0}

\vec {M_3}=\vec {\alpha_0\lambda_0}

\vec {N_1}=\vec {\alpha_1\beta_1}

\vec {N_2}=\vec {\alpha_1\gamma_1}

\vec {N_3}=\vec {\alpha_1\lambda_1}

et enfin l'application f est telle que f(0)=\{A,M\} et f(1)=\{B,N\} et on admettra que x \in \mathbb {R} correspond au moment t_x

par ailleurs et telle que aussi \forall x \in \mathbb {R} ici on notera les vecteurs \vec {L_i(x)}   dont les composantes correspondent  aux composantes de la i ème colonne de la matrice  L(x)  

donc cette application f est telle que aussi on verifie  :

detM=det N=detL(x)

||\vec {L_i}||=||\vec {M_i}||=||\vec {N_i}|| avec \forall i \in  \mathbb {N}*_3=\{1,2,3\}

et en considérant le produit scalaire euclidien noté (x|y) on verifie aussi en plus

\frac {(\vec {L_i}|\vec {L_j})}{\sqrt {(\vec {L_i}|\vec {L_i})^2.(\vec {L_j}|\vec {L_j})^2}}=\frac {(\vec {M_i}|\vec {M_j})}{\sqrt {(\vec {M_i}|\vec {M_i})^2.(\vec {M_j}|\vec {M_j})^2}}=\frac {(\vec {N_i}|\vec {N_j})}{\sqrt {(\vec {N_i}|\vec {N_i})^2.(\vec {N_j}|\vec {N_j})^2}}

avec \forall i \in  \mathbb {N}*_3=\{1,2,3\} et  \forall j \in  \mathbb {N}*_3=\{1,2,3\}

Posté par Profil amethystere : formellement mathématiquement parlant 20-12-14 à 13:54

bon et là sur la fin une faute d'écriture

||\vec {L_i(x)}||=||\vec {M_i}||=||\vec {N_i}|| avec \forall i \in  \mathbb {N}*_3=\{1,2,3\}

et en considérant le produit scalaire euclidien noté (x|y) on verifie aussi en plus

\frac {(\vec {L_i(x)}|\vec {L_j(x)})}{\sqrt {(\vec {L_i(x)}|\vec {L_i(x)})^2.(\vec {L_j(x)}|\vec {L_j(x)})^2}}=\frac {(\vec {M_i}|\vec {M_j})}{\sqrt {(\vec {M_i}|\vec {M_i})^2.(\vec {M_j}|\vec {M_j})^2}}=\frac {(\vec {N_i}|\vec {N_j})}{\sqrt {(\vec {N_i}|\vec {N_i})^2.(\vec {N_j}|\vec {N_j})^2}}

avec \forall i \in  \mathbb {N}*_3=\{1,2,3\} et  \forall j \in  \mathbb {N}*_3=\{1,2,3\}

voilà l'énoncé est terminé!

Posté par Profil amethystere : formellement mathématiquement parlant 20-12-14 à 13:59

et une autre encore car j'avais placé un carré qui signifie un produit vectoriel d'un vecteur par lui même

voilà c'est fini!

et en considérant le produit scalaire euclidien noté (x|y) on verifie aussi en plus

\frac {(\vec {L_i(x)}|\vec {L_j(x)})}{\sqrt {(\vec {L_i(x)}|\vec {L_i(x)}).(\vec {L_j(x)}|\vec {L_j(x)})}}=\frac {(\vec {M_i}|\vec {M_j})}{\sqrt {(\vec {M_i}|\vec {M_i}).(\vec {M_j}|\vec {M_j})}}=\frac {(\vec {N_i}|\vec {N_j})}{\sqrt {(\vec {N_i}|\vec {N_i}).(\vec {N_j}|\vec {N_j})}}

avec \forall i \in  \mathbb {N}*_3=\{1,2,3\} et  \forall j \in  \mathbb {N}*_3=\{1,2,3\}

Posté par
Robot
re : formellement mathématiquement parlant 20-12-14 à 14:03

A quoi rime ce fil ?

Posté par Profil amethystere : formellement mathématiquement parlant 20-12-14 à 14:10

Robot ça y est l'enoncé est corrigé et pour si ça interresse quelqu'un il l'a!

j'avais fait ça de tête et effectivement la derniere expression etait vraiment mauvaise

bon apres j'ai corrigé des fautes d'inattention dont la derniere il y a à peine deux minutes juste avant ta question

voilà l'enoncé est correctement écrit ! et c'est bon vous pouvez vous en servir

Posté par Profil amethystere : formellement mathématiquement parlant 20-12-14 à 14:21

...ceci dit maintenant que l'enoncé est correctement écrit-en fait j'ai fais ça de tête et à la va vite-me demandant si l'expression " f est un application der..." était correcte sans trop me soucier du contenu-  comme  cette nuit je bossais sur autre chose donc ce matin j'avais la tête ailleurs d'où les erreurs-

Bref je proposerai sur le forum expresso un ensemble non denombrable d'applications f  

Posté par
Robot
re : formellement mathématiquement parlant 20-12-14 à 14:23

Grande trouvaille ! Une rotation préserve les longueurs et les angles !

Posté par Profil amethystere : formellement mathématiquement parlant 20-12-14 à 14:35

bah j'étais pas bien lucide ce matin pourtant j'ai pas dormis cette nuit!  

ceci dit j'ai bien fait de dire que le determinant soit identique car avec un changement de signe du determinant ça sera plus une rotation seulement



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