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Définition alternative d'espace affine

Posté par Profil amethyste 13-11-13 à 18:17

Bonjour

tout d'abord  je suis désolé pour la longueur du sujet de cette question et ensuite je remercie d'avance pour vôtre réponse et notamment Camelia à cause du sujet et de son cours dans le lien Espaces affines

voilà en fait pour des raisons pratiques je désirerai utiliser la definition alternative ci-dessous d'un espace affine car je manque énormément d'automatismes contrairement à un étudiant et bien sûr dans la mesure que celle-ci soit correcte

étant autodidacte et loin de maitriser le language des ensembles cette definition me semblerai plus adaptée à ma situation un peu "spéciale"

cependant bien qu'étant à priori sûr de sa validité je ne suis pas en mesure du fait de mon niveau de certifier sa validité

cette définition en fait est contruite sur un ensemble de 13 définitions


D1
une correspondance de A vers B se définie par un triplet \ (\ \Gamma \ ,\ A\ ,\ B\ \ )
où dans l'ordre \ \Gamma \ se nomme le graphe de A vers B
A est l'ensemble de départ
B est l'ensemble d'arrivée

D2
un graphe \ \Gamma   de A vers B est une partie quelconque de A  \times  B

D3
le domaine de definition d'un graphe \Gamma   de A vers B est l'ensemble
\{ x| x \in  A  et  \exists y  \in  B tel que (x,y) \in \Gamma  \}

D4
le domaine de d'application d'un graphe \Gamma de A vers B est l'ensemble
\{ x| x \in \ B et  \exists y  \in  A tel que (y,x) \in \Gamma \}

D5
un graphe fonctionnel \Gamma de A vers B verifie
\forall x \in  A alors
soit uniquement \{y|y\ \in B et (x,y) \in  \Gamma\ \} = \varnothing
soit uniquement \{y|y\ \in B et (x,y) \in  \Gamma \} est un singleton

D6
une application entre deux ensembles A et B est une correspondance de A vers B telle que le graphe \Gamma soit fonctionnel et tel que A est le domaine de definition de ce graphe

D7
une application est stable si et seulement si le domaine d'application du graphe de cette correspondance
est un singleton

D8
une application f de A vers B est une injection si et seulement si (en plus d'être une application donc)
\forall (x,y)\in A^2 on a l'implication logique ( f(x)=f(y)  ) => ( x=y )

D9
une application f de A vers B est une surjection si et seulement si l'ensemble d'application de f est l'ensemble B

D10
une application f de A vers B est une bijection si et seulement si
cette application est à la fois une injection et une surjection

D11
la réciproque d'une bijection f  de A vers B est elle même une bijection de B vers A notée f^{-1}
telle que \forall x\in A on a l'équivallence logique ( f(x)=y ) <=> ( f^{-1}(y)=x )

D12
un K espace vectoriel peut être noté E_k^n est un ensemble dont les éléments sont appelés vecteurs  généralement noté \vec {V}\in E_k^n
par ailleurs on considère l'ensemble K ensemble des scalaires du K-espace vectoriel E_k^n
cet ensemble est munie d'une structure particulière et de plus est tel qu'il existe une bijection f:E_k^n->K^n

En ce qui concerne sa structure l'ensemble K est un corps pas obligatoirement commutatif ce qui signifie:
K est munis de l'addition + et du produit . qui sont des applications K \times K -> K   munis respectivements des éléments neutres 0 et 1
de plus la loi + est un groupe commutatif et la loi . est un groupe (commutatif ou non ) dans l'ensemble K*
qui est l'ensemble K démunie de l'élément neutre 0 de l'addition
si la loi . est commutative alors ce corps est commutatif

par ailleurs n désigne la dimension de ce k-espace vectoriel

cet espace K-vectoriel E_k^n est munie de la structure suivante

cet ensemble est munis du produit par un scalaire
il s'agit d'une application \lambda .\vec {V}:K \times  E_k^n -> E_k^n  

cet ensemble est munis de l'addition vectorielle
il s'agit d'une application \vec {V}+\vec {W}:E_k^n \times E_k^n  -> E_k^n

cet ensemble est munis du produit scalaire
il s'agit d'une application \vec {V}.\vec {W}:E_k^n \times  E_k^n  -> K  

on verifie

\forall \vec {V} \in E_k^n et \forall \vec {W} \in E_k^n alors

\vec {V}+\vec {W}=\vec {W}+\vec {V}   Commutativité de l'addition

\forall \vec {V} \in E_k^n et \forall \vec {W} \in E_k^n alors

\vec {V}.\vec {W}=\vec {W}.\vec {V}   Commutativité du produit scalaire

\forall (\lambda _1,\lambda_2) \in K^2 et \forall \vec {V} \in E_k^n alors

(\lambda _1.\lambda_2).\vec {X}=\lambda _1.(\lambda_2 .\vec {X}) associativité du produit par un scalaire par rapport au produit des scalaires

\forall (\lambda _1,\lambda_2) \in K^2 et \forall \vec {V} \in E_k^n alors

(\lambda _1+\lambda_2).\vec {X}=(\lambda _1.\vec {X})+(\lambda_2 .\vec {X}) distributivité du produit par un scalaire par rapport à l'addition des scalaires

\forall \vec {V} \in E_k^n alors  1 . \vec {V} = \vec {V} élément neutre à gauche \lambda =1 du produit par un scalaire

\forall \vec {V} \in E_k^n et \forall \vec {W} \in E_k^n et \forall \lambda \in K alors

\lambda.(\vec {V}+\vec {W}) =(\lambda.\vec {V} )+(\lambda .\vec {W} ) le produit par un scalaire est distributif par rapport à l'addition des vecteurs

\forall \vec {V} \in E_k^n et \forall \vec {W} \in E_k^n et \forall \lambda \in K alors

\lambda.(\vec {V}.\vec {W}) =(\lambda .\vec {V}).\vec {W}   le produit par un scalaire est associatif par rapport au produit scalaire

\forall \vec {X} \in E_k^n et \forall \vec {Y} \in E_k^n et \forall \vec {Z} \in E_k^n alors

(\vec {X}+\vec {Y})+\vec {Z}=\vec {X}+(\vec {Y}+\vec {Z}) associativité de l'addition

\forall \vec {X} \in E_k^n et \forall \vec {Y} \in E_k^n et \forall \vec {Z} \in E_k^n alors

(\vec {X}+\vec {Y}).\vec {Z}=(\vec {X}.\vec {Z})+(\vec {Y}.\vec {Z}) le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition des vecteurs

\forall \vec {X} \in E_k^n alors \vec {0} + \vec {X}=\vec {X} + \vec {0} = \vec {X}

\vec {0} est un élément neutre de l'addition

selon -\vec {V}=(-1).\vec {V}  \in E_k^n alors \forall \vec {V} \in E_k^n on vérifie \vec {V}-\vec {V}=\vec {0} et -(-\vec {V})=\vec {V}

\forall \vec {V} \in E_k^n et \forall \vec {W} \in E_k^n alors on vérifie l'équivallence logique

-\vec {V}= -\vec {W} <=> \vec {V}= \vec {W}  

D13
un espace affine est un ensemble \mathcal {A} muni d'une structure d'espace affine (decrite ci-dessous en D13.2) dont les éléments sont des points et des vecteurs
les vecteurs appartiennent à un k-espace vectoriel E_k^n
et les points appartiennent à un ensemble \mathcal {E} tel que d'une part il existe une bijection g:\mathcal {E}->K^n

et d'autre part \mathcal {E} est munie d'une structure definit par

D13.1
l'ensemble \mathcal {E} est munis de l'addition vectorielle

il s'agit d'une application V+W:\mathcal {E} \times \mathcal {E}  -> \mathcal {E}
  
on verifie

\forall V \in \mathcal {E} et \forall W \in \mathcal {E} alors

V+W = W+V   Commutativité de l'addition

\forall X \in \mathcal {E} et \forall Y \in \mathcal {E} et \forall Z\in \mathcal {E} alors

(X+Y)+Z = X+(Y+Z) associativité de l'addition

\forall X \in \mathcal {E} alors 0_n + X = X+0_n = X

0_n est l'élément neutre de l'addition

selon -V \in \mathcal {E} est l'élément symétrique de V \in \mathcal {E} par l'addition alors

\forall V \in \mathcal {E} on vérifie V-V = 0_n et -(-V) = V

\forall V \in \mathcal {E} et \forall W \in \mathcal {E} alors on vérifie l'équivallence logique

-V = -W <=> V = W

D13.2
l'ensemble \mathcal {A} muni d'une structure d'espace affine

en considérant les bijections f:E_k^n->K^n et  g:\mathcal {E}->K^n

avec leur réciproques respectives   f^{-1}:K^n->E_k^n et  g^{-1}:K^n ->\mathcal {E}

cette structure d'espace affine est definie par deux applications

la première est une application \vec {AB}:\mathcal {E}\times \mathcal {E}->E_k^n et définie par la relation

\vec {AB}=f^{-1}(g(B-A))=f^{-1}(g(B)-g(A))=f^{-1}(g(B))-f^{-1}(g(A))

la deuxième est une application P+\vec {V}:\mathcal {E}\times E_k^n ->\mathcal {E} et définie par la relation

P+\vec {V}=g^{-1}(g(P)+f(\vec {V}))=g^{-1}(g(P))+g^{-1}(f(\vec {V}))

Posté par Profil amethystere : Définition alternative d'espace affine 14-11-13 à 03:31

Bonne nuit à vous

On m'a fait remarqué à propos du D14 il y a une heure que la loi + sur les points est inutile
sur le coup j'avais pas percuté mais effectivement puisque je passe par la bijection g
enfin je crois que j'ai compris...car pour moi tout ça c'est du chinois

en tout cas merci à tous et voici un cadeau pour vous tous car vous ne savez pas à quel point c'est important pour moi :
J'ai décidé de lui faire peur (à la mort) et la mort n'aime pas les maths ni la musique géométrique

car il n'est pas normal de lui accorder sa soumission
et grâce à vous il m'est possible de lui faire peur, bien qu'elle soit très rusée en tout cas essayer de lui faire peur et c'est déjà pas mal...
un cadeau pour vous :

Posté par
lafol Moderateurre : Définition alternative d'espace affine 14-11-13 à 23:27

Bonsoir
jusque D11, ça ne me choque pas
à partir de D12, il y a des tas de choses qui ne vont plus, à commencer par le fait que tu ne décris que des espaces vectoriels de dimension finie : ta définition ne permet par exemple pas de voir l'ensemble des fonctions continues sur R comme espace vectoriel.
il est trop tard, je reprends ce D12 demain.

Posté par Profil amethystere : Définition alternative d'espace affine 15-11-13 à 14:30

merci Lafol

je passais par ici pour corriger le D13

non effectivement dans le D12 tous les espaces vectoriels décris sont finis

je répond très rapidement pour te remercier (tu peut pas savoir à quel point) je reviens plus tard

c'est très chouette de ta part ta deuxième remarque je vais essayer de voir par moi même (c'est très important pour moi de faire des definitions car je suis autodidacte ce qui fait que je manque d'automatisme entre autre et ces D sont comme des dogmes pour ma conduite )

Posté par Profil amethystere : Définition alternative d'espace affine 15-11-13 à 14:53

bon eh bien oui effectivement des tas de choses ne vont pas sur le D12 et donc sur le D13 -> j'ai trouvé ça sur Google

Proposition 1 Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) E est de dimension infinie
(ii) toute famille libre finie de E est incluse strictement dans une autre famille libre
(iii) il existe dans E un système libre dénombrable.

je suis donc obligé de refaire tout ça !

juste une question et merci pour vos réponses mais ne vous embêtez pas  il faut que je travaille seul ma question est tres cool:

le D12 serait-il valable si je le garde comme definition d'un espace vectoriel fini? en disant:

D12
un K-espace vectoriel de dimension fini n\in \mathbb {N}   

etc ...

Posté par Profil amethystere : Définition alternative d'espace affine 15-11-13 à 16:11

je vous remercie d'avance pour vos réponses et grandement merci

dans ma definition D12 de l'espace vectoriel fini je ne parle pas de famille generatrice de vecteurs libres ou de vecteurs libres ou de base d'un espace vectoriel ou de sous-base , de definition formelle d'une combinaison linéaire etc...

pourtant et tenant compte de la remarque de Lafol

D12 resterai vraie comme definition d'un espace vectoriel FINI n'est-ce pas?

Posté par Profil amethystere : Définition alternative d'espace affine 15-11-13 à 16:54

c'est bon (sujet résolu)

en fait  



en fait mon D12 est à refaire completement et entre lui et le D11 il manque pas mal de chose

merci Lafol tu m'a aidé beaucoup car sans ta remarque j'étais encore là dans un mois

cadeau rien que pour toi:


Marc moulin est décédé il y a pas longtemps alors comme ça il reste une trace

Posté par Profil amethystere : Définition alternative d'espace affine 15-11-13 à 17:03

Marc Moulin

mince les majuscules oh !  

à son âme éternelle

Posté par Profil amethystere : Définition alternative d'espace affine 15-11-13 à 17:42

Bonjour

Excusez moi mais vous pouvez mettre ce fil en bleu le sujet est résolu

grâce à Lafol et puis je lui ai fait un cadeau de remerciement...et encore c'est

pas assez mais comme le créateur Marc Moulin est décédé alors comme cadeau il est éternel

c'est un joli cadeau sauf erreur

bonne nuit à tous et encore une dernière fois merci!

Posté par
lafol Moderateurre : Définition alternative d'espace affine 15-11-13 à 21:22

Dans ce qui ne va pas, il y a la structure euclidienne (le produit scalaire) qui n'est absolument pas indispensable dans un espace vectoriel.
et comme le produit scalaire n'est pas un produit interne, mais une forme bilinéaire symétrique définie et positive, on n'utilise pas le vocabulaire des opérations internes : x.y = y.x ne s'appelle ainsi pas "commutativité", mais "symétrie".
Mais je vois que tu as trouvé de la doc, je te laisse la digérer tranquillement.

Posté par Profil amethystere : Définition alternative d'espace affine 15-11-13 à 21:33

merci ma Camarade Lafol le fil est résolu grâce à toi
non il y a plein de choses qui vont pas dans ce que j'ai dit
je te rend hommage pour le temps que tu m'a consacré injustement
mon cadeau (le lien musical Marc Moulin) est minable mais c'est avec Amour
bonne nuit ma Camarade

Posté par Profil amethystere : Définition alternative d'espace affine 15-11-13 à 22:41

je rappelle : ce fil est résolu et Lafol l'a fermé par son pur esprit(Marc Moulin sait qui elle est!  et l'a toujours connue! )

... la structure de produit scalaire telle que définie là en D12 n'est pas forcément euclidienne or ma définition admet K complexe (si K est complexe le produit scalaire euclidien est impossible car il n'existe pas dans C de relation d'ordre \geq mais tel que définit là K peut être admis )
mais tu me l'a fait remarqué c'est pas le problème ... et j'ai du boulot
bonne nuit ma Camarade éternelle

Posté par
lafol Moderateurre : Définition alternative d'espace affine 17-11-13 à 00:21

On va repasser le topic en bleu ...
pour les ev sur C, on définit des produits hermitiens, à la place des produits scalaires. fais des recherches avec "espace préhilbertien réel", tu devrais tomber sur ce qui t'intéresse.

Posté par Profil amethystere : Définition alternative d'espace affine 02-06-14 à 19:16

Bonjour Camarade Lafol

vraiment merci pour ton aide apportée l'année dernière

certes j'avance doucement! sept mois se sont écoulés depuis!

Citation :
Camarade Lafol
jusque D11, ça ne me choque pas
à partir de D12, il y a des tas de choses qui ne vont plus


à présent ça va beaucoup mieux! ça peut te paraitre bizarre que je re-ouvre ce fil rien que pour te remercier encore mais étant autodidacte mon amour des maths n'est pas un amour facile depuis 30 ans
30 années de déprimes, 30 années de jalousie car je vous enviais souvent  

plus du tout depuis ton aide apportée sur ce fil et là sept mois plus tard je suis serein car même si ça allait mieux là je suis vraiment serein

je n'ai jamais connu la sérénitée depuis trente ans et si j'ai malgré tout continué c'est que pour moi les maths sont comme mes clopes : je peux pas vivre sans et c'est tant mieux

oui la cigarette certes mal vue dans notre société à elle aussi je lui dois une belle chandelle

merci Camarade!

Posté par Profil amethystere : Définition alternative d'espace affine 02-06-14 à 21:58

...,belle soirée Camarade Lafol

en apparté (et encore merci)  si tu a un avis à ce sujet je te fais plus confiance chère Camarade qu'à une pseudo recherche sur le sujet  (Lien cassé)

Posté par Profil amethystere : Définition alternative d'espace affine 02-06-14 à 22:45

bonne nuit Camarade Lafol
mon lien parlant de cela est trop sensible je comprend
belle musique ma camarade et encore merci alors terminons en parlant d'amour des maths[url]
et musique


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