Niveau terminale

deux types d'erreur

Posté par
tanx 24-02-16 à 16:55

Bonjour,

voici mon énoncé, je veux bien une piste (ou la solution) pour la question (c)

Question a: on lance cent fois une pièce de monnaie équilibrée, construisant ainsi un échantillon de taille 100 , on s'intéresse à la proportion de Face.
Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% dans cette situation.

réponse:
$I=[p-u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ,p+u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}]$
I=[0,402;0,598]

Question b:
On considère qu'une pièce est équilibrée, au seuil de 95% , si lorsqu'on la lance cent fois,la proportion de Face est comprise dans l'intervalle trouvé à la question
précedente.
Avec cette règle, quelle est la probabilité de rejeter l'hypothèse que la pièce est équilibrée alors que c'est vrai ?
réponse 5%

Question c: on lance cent fois une pièce de monnaie non équilibrée, qui donne Face avec une probabilité égale à 0,55.
Quelleest la probabilitéd'obtenir une proportion de face comprise dans l'intervalle trouvé à la question (a) ?
Quelle erreur commet on alors ?

merci pour votre aide question (c).

Posté par re : deux types d'erreur 24-02-16 à 17:16

salut

en terminale ... et pour des échantillons de taille 100 on considère donc que ta pièce truquée "suit" (en fait la proportion F de face) approximativement la loi normale de paramètre p = 0,55 et $\sygma = \sqrt {\dfrac {0,55 \times 0,45}{100}}$

et tu cherches $P(F \in I)$ où I est l'intervalle de la question a/

ou alors deuxième méthode : si X est le nombre de Face alors X suit la loi binomiale de paramètres 100 et 0,55 et tu cherches P(40 < X < 60)

....

Posté par re : deux types d'erreur 24-02-16 à 17:41

pour la (c) la proportion de Face $Y_n$ vérifie
$\frac{Y_n-55}{\sqrt{100 \times 0,55 \times 0,45}} \sim N(0;1)$
En posant $Z_n=\frac{Y_n-55}{\sqrt{100 \times 0,55 \times 0,45}} \\$ je dois calculer
$P(-0,02975 < Z_n < 0,00965)$ où $z_n \sim N(0;1) \\$

Posté par re : deux types d'erreur 24-02-16 à 18:25

rectification des calculs précédents:
$X_n$ suit une loi binomiale $B(n=100,p=0,55) \\$ La proportion de Face est $Y_n=\frac{X_n}{n} \\$ D'après le théorème de Moivre-Laplace

$Z_n=\frac{Y_n-p}{\sqrt{p(1-p)}} \times \sqrt{n} \sim N(0;1)$

on a donc à calculer
$P(-2,97491 < Z_n < 0,96484)$
tout calcul faits
$P(-2,97491 < Z_n < 0,96484)=\Phi(2,97491)+\Phi(0,96484)-1$
$P(-2,97491 < Z_n < 0,96484)=0,82998$

est ce que les alculs sont justes ? si oui, que peut on en déduire ?

Posté par re : deux types d'erreur 24-02-16 à 18:32

après vérification
la probabilité cherchée est 0,83122 ?

Posté par re : deux types d'erreur 24-02-16 à 18:32

je ne sais pas .... mais le raisonnement est correct ....

tu peux effectivement passer par la loi N(0, 1) ... mais ce n'est même pas nécessaire avec les machines actuelles ....

mais je ne sais pas ce qui est attendu par ton prof ...

déduction : tu en déduis sur cet exemple que tu as environ 83% d'accepter l'hypothèse que cette pièce est correcte alors qu'elle ne l'est pas ...

c'est les deux types d'erreur :

en b/ : refuser une pièce équilibrée
en c/ : accepter une pièce déséquilibrée

....

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