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Devoir de mathématiques bis

Posté par
birdy62
11-11-19 à 20:38

Bonsoir, Je bosse sur le même dm

Citation :
Partie A : Des exemples.

En remplaçant les pointillés par des signes + et un seul signe =, comment obtenir une égalité dans :
a) 4 ... 5 ... 6 ... 7 ... 8
b) 9 ... 10 ... 11 ... 12 ... 13 ... 14 ... 15 ?

Partie B : En fixant la place du signe d'égalité.


On cherche à construire des égalités analogues, du type : n + (n+1) + ... + (n+p) = (n+p+1) + ... + (n+k) où n, p et k sont des entiers naturels non nuls.

   1) Quelles valeurs de n, p et k correspondent à l'égalité trouvée à la question Aa ?
et Ab ?
  

   2) Cas où il y a un terme de moins à droite du signe d'égalité qu'à gauche.
      a) Combien de termes comprend la somme n + (n+1) + ... + (n+p) ?
      b) Montrer que n + (n+1) + ... + (n+p) = (p+1)(2n+p)2
      c) Exprimer en fonction de n et p le dernier terme de la somme située à droite du signe d'égalité sachant qu'elle contient un terme de moins que celle située à gauche du signe d'égalité.
      d) En déduire la somme des termes situés à droite du signe d'égalité.
      e) Montrer que l'égalité a lieu si et seulement si n = p².
      f) Ecrire deux nouvelles égalités analogues à celles de la partie A.
  

   3) Cas où il y a deux termes de moins à droite du signe d'égalité qu'à gauche.
      a) En suivant la même démarche qu'à la question B2, montrer que l'on doit avoir n = p(p-2)2.
      b) Trouver deux égalités de ce type.
      c) Justifier qu'une telle égalité ne peut avoir lieu qu'avec un nombre impair de termes de chaque côté du signe d'égalité.

Indication : 1+2+3+...+n=n(n+1)/2

j'ai compris le deuxième exercice et je suis revenu sur le premier
4+5+6=7+8
9+10+11+12=13+14+15
Je pense avoir compris que n=4 , p=5 et k=6 .
à)le nombre de termes p+1
b) par contre avec qu'elle valeur dois je démontrer l'égalité suivante
n+(n+1)+...+(n+p)= (p+1)(2n+p)/2

*** message déplacé ***

Posté par
mathafou Moderateur
re : Devoir de mathématiques 11-11-19 à 20:54

ça va compliquer avec deux demandeurs en même temps qui n'avancent pas à la même vitesse !!

birdy62 @ 11-11-2019 à 20:38

Bonsoir, Je bosse sur le même dm j'ai compris le deuxième exercice et je suis revenu sur le premier
4+5+6=7+8 OK
9+10+11+12=13+14+15 OK
Je pense avoir compris que n=4 , p=5 et k=6 .

non
réponses différentes pour la Aa et pour la Ab !!


à)le nombre de termes p+1 OK
b) par contre avec qu'elle valeur dois je démontrer l'égalité suivante
n+(n+1)+...+(n+p)= (p+1)(2n+p)/2

aucune
que en littéral
.


*** message déplacé ***

Posté par
birdy62
re : Devoir de mathématiques 11-11-19 à 21:00

Merci donc la valeur de n sera différente selon l'égalité.
Désolé qu'appelles tu que en littéral
Merci

*** message déplacé ***

Posté par
mathafou Moderateur
re : Devoir de mathématiques bis 11-11-19 à 21:13

la valeur de n sera différente selon l'égalité.
il n'y a pas que la valeur de n qui sera différente !!

que en littéral ça veut dire avec n écrit n et rien d'autre, p écrit p et rien d'autre etc.

Posté par
birdy62
re : Devoir de mathématiques bis 11-11-19 à 21:17

Merci du temps que tu me consacres, Je ne vois pas ce que je dois écrire dans les pointillés de la,  la difficulté pour démontrer cette égalité

Posté par
mathafou Moderateur
re : Devoir de mathématiques bis 11-11-19 à 21:38

les pointillés ça veut dire toujours "on continue comme ça de la même façon"

c'est à dire
n+(n+1)+...+(n+p) : la somme de p+1 nombres entiers successifs en commençant par le nombre n

il est impossible de les écrire explicitement vu que le nombre de ces termes est variable et égal à p+1 !!!
c'est pour ça qu'on écrit des "..." voulant dire "et tous les termes du même genre qu'on pourrait écrire si on en connaissait le nombre exact"
et même pire : il "absorbe" des termes en trop

si p = 1 par exemple
cela ne veut dire que
n + (n+1) point final et même pas les 3 termes de la formule générale !

cela ne doit absolument pas gêner le moins du monde pour écrire ces sommes avec les "..." qui restent des "..."
je disais ainsi dans l'autre discussion

n + (n+1) + ... + (n+p) = (n + n + ... + n) + (1 + 2 + ... + p)

qui n'est que un regroupement différent de toute cette grosse somme
voulant dire

p+1 fois le nombre n (vu que dans le membre de gauche il y a p+1 termes, réponse de la question d'avant)

et la somme des entiers de 1 à p inclus. (qui est exactement au nom près l'indice donné dans l'énoncé)

il n'y a plus qu'à simplifier ça en tenant compte de cet indice et ça donnera le résultat attendu.

Posté par
birdy62
re : Devoir de mathématiques bis 11-11-19 à 22:05

Re
Je ne vois plus avoir les idées bien claires si j'ai bien compris (p+1)  est bien le nombre de termes mais pourquoi le multiplier par (2n+p)/2
😂😂😂

Posté par
birdy62
re : Devoir de mathématiques bis 11-11-19 à 22:06

"dois"

Posté par
mathafou Moderateur
re : Devoir de mathématiques bis 11-11-19 à 22:36

il ne faut pas partir de la fin (de ce qu'on cherche à démontrer comme si c'était vrai) mais du début et ça donnera à la fin si on n'a pas fait d'erreur de calcul la formule espérée.

comme toujours

n + (n+1) + ... + (n+p) = (n + n + ... + n) + (1 + 2 + ... + p) c'est ça et rien d'autre le début.

il y a p+1 termes "n" donc n+n+...+n = (p+1)n
la somme 1+2+..+p se calcule en utilisant l'indice :

1+2+... +n = n(n+1)/2 disent ils avec un "n" qui est une "variable muette" sans aucun rapport avec le "n" défini dans le problème
ce "n" muet là peut (doit) être remplacé par ce qu'il faut pour appliquer cette formule générale au cas spécifique qu'on a à calculer :

1+2 + ... k = k(k+1)/2
1+2+...+m = m(m+1)/2
1+2+...+(3a+7)= (3a+7)(3a+8)/2

1+2+...+p = ??

il te restera donc à développer, réduire au même dénominateur, factoriser etc etc, tout ce qu'on peut faire pour triturer une expression :

(p+1)n + p(p+1)/2 = ...

avec en vue l'objectif à atteindre.

Posté par
birdy62
re : Devoir de mathématiques bis 11-11-19 à 22:47

Merci pour toutes ces explications, Je regarderai cela demain.
Bonne nuit



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