On considère la fonction f définie sur [0;+∞[ par f(x)=(x³+x²-2x-3)/(x+1)
1. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x de [0;+∞[, f(x)=x²+a+(b/(x+1))
2. Soient u et v les fonctions définies sur [0;+∞[ par:
u(x)=x²  et  v(x)=-2-(1/(x+1))
a.Déterminer le sens de variation de u et v sur [0;+∞[
b. En déduire le sens de variation de f sur [0;+∞[. Dresser le tableau de variation de f
c. Calculer f(1)et f(2).
En déduire que, sur [0;+∞[, l'équation f(x)=0 admet une solution unique α et que cette solution appartient à l'intervalle {1;2]
3. On considère l'algorithme suivant:
Entrée: Introduire un nombre entier naturel n
Initialisation: Affecter à N la valeur n.
                      Affecter à a la valeur 1.
                      Affecter à b la valeur 2.
                      Affecter à m la valeur (a+b)/2
                      Affecter à P le produit f(a)*f(m)
                      Si P>0, affecter à a la valeur m.
                      Sinon, affecter à b la valeur m
Sortie: Afficher a.
              Afficher b.
a.Cet algorithme détermine un encadrement de la solution α de l'équation f(x)=0 sur l'intervalle [1;2]. Quelle influence le nombre entier n, introduit au début de l'algorithme, a-t-il sur l'encadrement obtenu?
b.Programmer cet algorithme sur votre calculatrice (Voir ci-dessous) et après avoir saisi l'expression f(x) dans l'éditeur de fonction en Y1, déterminer un encadrement de α à 10^-8
c. Quel est le nombre d'étapes nécessaires à l'obtention de cette encadrement?
TI:                                           CASIO:
PROGRAMICHO                                 ======DICHO   ======
rompt N                                     "N"?→N:1→A:2→B↲
:1→A:2→B                                      While B-A>10^(-N)↲
:While B-A>10^(-N)                            (A+B)÷2→M↲
A+B)/2→M                                    Y1(A)×Y1(M)→P↲
:Y1(A)*Y1(M)→P                                If P>0↲
:If P>0                                       Then M→A↲
:Then                                         Else M→B↲
:M→B                                          IfEnd↲
:Else                                         A◢
:M→B                                          B
:End
:End
isp A,B