Réponse:

1)Df=]0;2]
2)Nous constatons que l'aire maximale du triangle OBC est de m=2.
3)Sachant que la formule de l'aire d'un triangle est de (b*h)/2 et que nous n'avons pas h (BC),nous allons le chercher.

Calcul de BC
Dans le triangle OMB rectangle en M,on applique le théorème de Pythagore.

OM²+BM²=OB²
x²+BM²=4
BM²=4-x²
BM=(4-x²)

Or BM=CM=1/2BC,d'où 2BM=BC=2(4-x²)

Calcul de l'aire du triangle OBC

f(x)=(b*h)/2=( 2x(4-x²) )/2=x(4-x²)

4)a)On à démontrer dans le 2 que m=2.Et nous savons que x=(x²) car:

Si x0, x=(x²)
Si x0, x=-(x²)
Or Df=]0;2]
Donc,Si x0, x=(x²).

f(x)-2=x(4-x²)-2=x²(4-x²)-2=(4x²-x^4)-2

Pour la c et b, je suis toujours en train de les faire.Je vous prie d'attendre 10 minutes .

b)On a donc:

f(x)-m0
(4x²-x^4)-20
-x²+2x-20

On calcul delta:

=b²-4ac=4-8=-4

Sachant que a<0 et <0,on peut affirmer que f(x)-m0.

Pour la c,j'utiliserais les fonctions dérivées mais je ne pense pas c'est ce qu'on attend de moi :/.Alors,je vais continuer de chercher!

b)Cette méthode est possible car x>0.

c)Sachant que par construction que OB=OC vu qu'ils représentent les rayons du cercle T,on peut affirmer que le triangle OBC est isocèle en O.

On a pu prouver que:

f(x)-20
f(x)2

Donc,l'aire maximale du triangle OBC est de 2.

En ce qui concerner la position de M,je suis en train de chercher comment faire.

Salut,

Sauf erreur, tu viens de montrer que pour tout dans ,

étant l'expression algébrique de l'aire du triangle OCB, tu peux donc en déduire que son aire est maximale pour la valeur de x pour laquelle

Or équivaut à équivaut à

En passant tout au carré, tu obtiens

C'est une équation bicarrée qu'on résout en posant .

L'équation devient donc soit   soit

D'où car est à exclure, on travaille avec des distances.

Donc l'aire de OCB est maximale pour et vaut 2

Bonjour

vous avez dit que par conséquent 0 est une valeur possible de x

comment trouvez-vous m= 2 ?

l'aire du triangle BOC est bien si l'on fait l'étude des variations de

on a :

si et seulement si et et par suite

le maximum est bien 2

les questions d'après n'ont guère de sens : par conséquent quelle que soit la valeur de m positif

si est le maximum on a bien et par suite

quelle est l'aire maximale ? c'est évidemment 2 on ne fait que d'utiliser le résultat 2 est l'aire maximale !

Bonjour!
Tout d'abord,je tiens à vous remercier tout les deux pour votre aide!!

Pour répondre à la question de hekla,j'ai trouvé m=2 à l'aide de Géogebra (question 2).
Sinon lorsque vous avez dit que 0 est une valeur possible de x,je suis d'accord mais l'aire serait alors de 0.Ceci ne poserais pas de problème alors ?

Sinon en ce qui concerne mes réponses,il y a deux question où je souhaite y revenir la:
-4)b:Montrer que f(x)-m0 sur Df.
-4)c:Quelle est alors la nature du triangle OBC ?

Nouvelles Réponses:

4)c)Dans cette question,j'ai constaté que en plus d'être isocèle,le triangle OBC est rectangle.Donc 0BC est un triangle isocèle en 0.Pour le moment,je cherche un moyen de le démontrer.

  b)Pour cette question,je n'étais absolument pas satisfait du type de réponse que j'ai écris.Elle était juste mais je pensais que ce n'étais pas la réponse attendue.Donc,après avoir vu le post de Iderden,j'ai pensé à utilisé les quantités conjuguées(je suis pas sûr du nom par contre ^^')!
Ce qui nous donne:

f(x)-m0
x(4-x²)-20
(x(4-x²)-2)(x(4-x²)+2)0
-x^4+4x²-40
-(x²-2)²0

Bon,le problème avec cette méthode c'est que je ne suis pas sûr quelle soit acceptée et je ne sais même pas si ce que j'ai écris ce n'est pas des âneries.

*Donc 0BC est un triangle isocèle rectangle en 0*

je maintiens que les questions  à partir de 4 n'ont aucun intérêt

il est dit que est un maximum pour   c'est une tautologie de dire que c'est le serpent qui se mord la queue

la fonction carré est strictement croissante sur les réels positifs

toujours vrai donc l'ensemble des solutions de

l'inéquation est [0~;~20]

le fait de montrer que ne permet pas de conclure que l'on puisse avoir


vous aviez les outils pour déterminer le maximum je ne comprends pas qu'ils n'ont pas été utilisés et cela aurait permis une certaine rigueur.

Bonjour!


"C'est le serpent qui se mord la queue "La réponse est Ouroboros!
Bon,mauvaises blagues à part , en ce qui concerne les questions à partir de 4 je suis tout à fait d'accord avec vous, c'est une tautologie (j'utilise un mot que je viens d'apprendre ^^). Mais que voulez-vous y faire ?
Malgré mon jeune âge ,je suis tombé de nombreuses sur des questions voir des énoncés sans queue ni tête,certains étaient même erronées!

Bon ceci étant dit,je retourne continuer mon exercice.Je dois encore prouver que OBC est un triangle isocèle rectangle en 0.En plus,je suis sûr que la réponse est devant mes yeux mais que je ne la vois pas.

passez par la trigo   d'où et ?

Ah oui ...

On utilise la trigonométrie dans le triangle OMC rectangle en M.

Cos O=OM/OC=45

Sachant que [OS] représente la médiatrice du triangle OBC,l'angle ô du triangle est de ô=2*45°=90°.
Or [OB]=[OC] vu qu'ils sont des rayons du cercle T.

*Sachant que [OS] représente la médiatrice du triangle OBC,Or [OB]=[OC] vu qu'ils sont des rayons du cercle T.Donc le triangle OBC est isocèle en O.Ce qui implique que [OS] est la bissectrice du triangle OBC isocèle en O,d'où l'angle ô du triangle est de ô=2*45°=90°.*

Je pense que c'est mieux formuler ainsi!

d'où

le triangle est isocèle  (déjà dit en 3 pas la peine de se répéter )

[OS] bissectrice donc

Re!

Ah oui,présenter ainsi c'est beaucoup plus lisible et claire !Je vous remercie de m'avoir montrer le mode de présentation!
Sinon,j'aurai une dernière faveur à vous demander,est-ce-que vous pouvez me dire si la méthode que j'ai utilisé pour la 4)b est acceptable.

4)b)f(x)-m0
x(4-x²)-20
(x(4-x²)-2)(x(4-x²)+2)0
-x^4+4x²-40
-(x²-2)²0

absolument pas

1 vous avez élevé au carré mais pas les autres termes

2 après  il y a un mélange de où les carrés n'existent pas

Dans ce cas là,il vaut mieux que je garde la première méthode que j'ai utilisé?

f(x)-m0
(4x²-x^4)-20
-x²+2x-20

On calcul delta:

=b²-4ac=4-8=-4

Sachant que a<0 et <0,on peut affirmer que f(x)-m0.

non
il y a des erreurs
vous écrivez
comment passez vous de à
si vous changez de variable il faut au moins changer la casse

voir mon message 15 : 52

Certes, vous avez  raison.

Mais je ne comprend pas pourquoi vous avez multiplié par -1.

dire   c'est bien équivalent à dire  

il paraît plus immédiat de dire qu'un carré est positif que l'opposé d'un carré est négatif

Ah...d'accord,je ne savais pas!Ben,je ne sais quoi dire si ce n'est merci pour votre immense aide!

Sur ce je vous souhaite une bonne soirée!

immense est exagéré
de rien
bonne soirée

Bonjour!

De votre point de vue,votre aide n'aura pas été immense mais pour moi elle l'aura été ^^!
Sinon avant de clore ce topic,je souhaiterais (bien sûr si cela ne vous dérange pas ) que vous vérifier les réponses que je compte mettre sur mon Devoir Maison.Par contre je me pose toujours la question,pourquoi ils nous ont pas demandé d'utiliser la dérivation pour la 2,saurait été beaucoup plus amusant ainsi ^^ .

Questions:

On considère le cercle de diamètre [RS] et de centre O avec RS = 4.
Pour tout point M de [OS], on trace la perpendiculaire à (RS) passant par M qui coupe le cercle en B et C.
On note x = OM et f(x) l'aire du triangle OBC.

1)Déterminer l'ensemble de définition de f,noté Df.
2)A l'aide d'un logiciel dynamique (Géogébra) conjecturer le maximum noté "m" de f sur Df.
3)Démontrer que f(x)=x(4-x²).
4)a)En utilisant la valeur de "m" trouvé dans le 2,démontrer que f(x)-m=(4x²-x^4)-m
  b)Montrer que f(x)-m0 sur Df.
  c)Quelle est l'aire maximal du triangle OBC?Pour quelle position de M l'obtient-on?Quelle est alors la nature du triangle OBC ?

Réponses:

1)[0;2]
2)On constate que l'aire maximale du triangle OBC est de m=2 pour OM=(2)
3)Sachant que la formule de l'aire d'un triangle est de (b*h)/2 et que nous n'avons pas h (BC),nous allons le chercher.

Calcul de BC
Dans le triangle OMB rectangle en M,on applique le théorème de Pythagore.

OM²+BM²=OB²
x²+BM²=4
BM²=4-x²
BM=(4-x²)

Or BM=CM=1/2BC,d'où 2BM=BC=2(4-x²)

Calcul de l'aire du triangle OBC

f(x)=(b*h)/2=( 2x(4-x²) )/2=x(4-x²)

4)a)On sait que m=2 et  que x=(x²) du fait que:

Si x0, x=(x²)
Si x0, x=-(x²)
Or Df=[0;2]
Donc, x0, x=(x²).

f(x)-2=x(4-x²)-2=(x²(4-x²))-2=(4x²-x^4)-2

b)f(x)-m0
(4x²-x^4)-20
(4x²-x^4)2  
-x^4+4x²-40
-(x²-2)²0 ou (x²-2)²0

c)L'aire maximal du triangle OBC est de m=2 pour [OM]=(2), du fait que:

(4x²-x^4)=2
-x^4+4x²-4=0
x^4-4x²+4=0
On pose X=x²
X²-4X+4=0
(X-2)²=0

X=2

D'où:

x=(2)
x=-(2)0 Donc à exclure,car Df[0;2].

Cos O=OM/OC=45°
Sachant que [OS] représente la médiatrice du triangle OBC,Or [OB]=[OC] vu qu'ils sont des rayons du cercle T.Donc le triangle OBC est isocèle en O.Ce qui implique que [OS] est la bissectrice du triangle OBC isocèle en O,d'où l'angle ô du triangle est de ô=2*45°=90°.

Sur ce je vous remercie une nouvelle fois de votre aide je vous souhaite une bonne journée!

Bonjour

plus amusant je ne sais pas  plus rigoureux sans aucun doute

quelques remarques sur la rédaction

question 2 j'ai des doutes sur la valeur exacte de OM donnée par le logiciel  

question 3 commencez par dire que BC=2BM  en effet par hypothèse (OM) et (BC) sont perpendiculaires  or  le triangle OBC est un triangle isocèle  [OB] et [OC] sont des rayons du cercle. La hauteur (OM) est aussi médiane donc M est le milieu de [BC]

calculons BM
dans le triangle

sans changement



BM étant une longueur donc un nombre positif




4 a) on prend

par conséquent

.

b)montrons que ou montrons c'est-à-dire

en élevant au carré puisque les termes sont positifs cela revient à montrer que ou encore

or . Ceci étant négatif pour tout nous avons bien montré que

c) l'aire maximale du triangle OBC est  2. Déterminons la valeur de . Résolvons . Nous avons montré que est équivalent à



d'où et la suite

Montrons que le triangle isocèle OBC est aussi rectangle



(OM) étant une médiane c'est aussi la bissectrice de d'où l'angle est droit
le triangle est donc un triangle rectangle isocèle en O

Bonjour!

Tout d'abord, je vous prie de m'excuser de mes remerciements tardif surtout vu l'aide que vous m'avez apporté!
Ben,je ne sais quoi dire si ce n'est MERCI pour toute l'aide apporté ^^!

Sur ce je vous souhaite une bonne journée ^^!

de rien