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Devoir Maison Géométrie
Bonjour ! J'ai actuellement un devoir maison à faire pour la rentrée, petit bémol, je n'ai pas de point de départ, donc je ne sais pas quoi faire à priori..
Voici l'énoncé :
On dispose d'une ficelle longue de 1 mètre que l'on coupe en deux. Avec un des morceaux, on forme un carré, et avec l'autre, on forme un rectangle dont la longueur est le double de la largeur.
Peut-on couper la ficelle de sorte à minimiser la somme des aires du carré et du rectangle ? Donner la longueur à laquelle il faut couper la ficelle.
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Voila ce que j'ai fait :
On prend x pour faire la carré, vu qu'on coupe la ficelle de 1 mètre ça fait 2 morceaux de 50 cm, on fait x/4 pour trouver la longueur d'un côté ce qui donne 50/4 = 12,5
Pour calculer l'aire on fait c*c = 12,5*12,5= 156,25² ou x²/16=50²/16=156,25²
Mais pour le rectangle, je ne sais pas :/
Merci pour votre aide et le temps passer pour m'aider, bonne journée !
bonjour
On prend x pour faire la carré, vu qu'on coupe la ficelle de 1 mètre ça fait 2 morceaux de 50 cm, on fait x/4 pour trouver la longueur d'un côté ce qui donne 50/4 = 12,5
Pour calculer l'aire on fait c*c = 12,5*12,5= 156,25² ou x²/16=50²/16=156,25²
On dispose d'une ficelle longue de 1 mètre que l'on coupe en deux. Avec un des morceaux, on forme un carré, et avec l'autre, on forme un rectangle dont la longueur est le double de la largeur.
carré : côté =x/4
rectangle : périmètre= 2L+2l=1-x ou L+l=(1-x)/2
or
la longueur est le double de la largeur.
donc L+L/2=(1-x)/2
continue
Carré : côté = x/4
l'aire du carré est donc (x/4)*(x/4) = x²/16
Rectangle : périmètre : 2L + 2l = 1-x ou L + l = (1-x)/2
La longueur est le double de la largeur;
L = 2l
Le périmètre du rectangle (1-x) :
2L + 2l donc 2l + 2(2l) = 6l
Donc ,
6l = 1-x
l=(1-x)/6
Donc,
L = 2l = (1-x)/3
L'aire du rectangle : L*l = (1-x)/3*(1-x)/6 ce qui fait (1-x)²/18.
Que dois-je faire après ?
l=(1-x)/6
L = 2l = (1-x)/3
minimiser la somme des aires du carré et du rectangle
aire du rectangle : L* l =.....
puis
aires du carré et du rectangle
A toi
Bonjour à vous deux,
deux remarques à mon avis indispensables sur la façon de résoudre en général ce genre de problème
énoncé : Donner la longueur à laquelle il faut couper la ficelle.
tu (JenkinsVF) dis : ça fait 2 morceaux de 50 cm
pas du tout.
on ne sait pas où on coupe la ficelle (et sans doute pas au milieu)
bien lire l'énoncé.
"en deux" ne veut pas dire en deux morceaux identiques !
si les deux morceaux étaient identiques (50cm) il n'y aurait aucun problème ("où couper") à résoudre du tout.
ensuite :
[ça fait 2 morceaux de 50 cm], on fait x/4 pour...
"faire" (sic !!!) x/4 représente donc pour toi une sorte d'incantation magique et non une réflexion sur ce que représente x
x, inconnu, représente la longueur du morceau que l'on a coupé pour former le carré, x n'est pas 50 cm !!
et par conséquent x/4 est le côté du carré (pas "on fait"
)
ces précisions apportés, tu continues avec les indices de kenavo27.
Oui désolé, je sais pas pourquoi je me suis dit que c'était coupé au milieu...
L'aire du rectangle est L*l = (1-x)/3*(1-x)/6 = (1-x)²/18 = 1/18(1-x)²
L'aire du carré est x²/16 = 1/16x²
L'aire totale est : (1-x)²/18 + x²/16 = 1/18(1-x)²+1/16x²
On développe ceci :
f(x) = 1/16x²+1/18(1-x)²
f(x) = 1/16x²+1/18(1²-2x+x²)
f(x) = 1/16x²+1/18-1/9x+1/18x²
f(x) = 17/144x²-1/9x+1/18
La forme canonique :
a(x+b/2a)²−(b²−4ac)/4a
f(x) = 17/144x²-1/9x+1/18
f(x) = 17/144(x-8/17)²+1/34
f(x) = 17/144(x²-2*x*8/17+8/17²)+1/34
f(x) = 17/144(x²-16/17x+64/289)+1/34
On étudie le signe de x²-16/17x+64/289 (17/144 et 1/34 sont des constantes leur signe est positif donc le signe de l'expression ne dépend que de x²-16/17x+64/289)
Delta = b²-4ac = (-16/17)²-4*(1)*(64/289) = 256/289-256/289 = 0
Comme Delta = 0, alors il n'y a une racine double :
x1 = -b/2a = -(-16/17)/2*1 = 8/17
Pour la forme canonique, et le signe, j'ai lu ça sur d'autres sujets, donc j'ai tout refais par moi même et j'ai compris, réussis à le refaire... En revanche, je ne comprend pas pourquoi il y a besoin de faire cela pour répondre à la question, 8/17 serait la longueur à laquelle il faut couper la ficelle ?
f(x) = 17/144x²-1/9x+1/18 OK
La forme canonique :
a(x+b/2a)²−(b²−4ac)/4a
f(x) = 17/144(x-8/17)²+1/34 si tu le dis (pas vérifié)
mais pourquoi se casser la nénette à calculer ça si c'est pour re développer ensuite ???
ça ne sert à rien du tout de redévelopper, à part pour vérifier qu'on n'a pas fait d'erreurs de calculs vu que ça doit redonner exactement la fonction de départ telle quelle sans aucune différence !!
de toute façon en étudier le signe ne sert à rien non plus.
en fait la forme canonique a(x-α)² + β a pour but de déterminer une fois pour toutes que dans les fonctions du second degré, le minimum de la fonction est β lorsque x vaut α
terminé
(minimum car a > 0 sinon, c'est un maximum)
preuve :
(x-α)² est toujours positif ou nul (c'est un carré) avec nullité uniquement quand x vaut α
donc si a > 0
a(x-α)² ≥ 0
et
a(x-α)² + β ≥ β
avec égalité seulement si x = α
ce qui est la définition de "minimum" d'une fonction (quelle que soit la fonction) : toutes les valeurs de f(x) sont supérieures à cette valeur β, qui est effectivement atteinte pour x = α
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