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Devoir Probabilité
Bonjour à tous,
J'ai un peu de mal avec cet exercice, si quelqu'un peut m'aider, merci beaucoup !
On range au hasard 5 cartes sur lesquelles figurent les lettres P, A, R, I, S (une lettre par carte) pour former des mots qui n'ont pas forcément de signification. On suppose que tous les rangements sont équiprobables.
1. Combien de mots distincts peut-on obtenir ?
2. On construit un mot au hasard. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
(a) Le mot obtenu est PARIS
(b) Le mot commence par deux consonnes
(c) Le mot contient les deux voyelles côte-à-côte
(d) Le P est placé à gauche du S mais pas forcément côte-à-côte
3. Sachant que la première lettre est le A, quelle est la probabilité que le mot finisse par S.
4. Les évènements ”le mot commence par une voyelle” et ”le mot finit par un consonne” sont-ils indépendants ?
5. On ajoute une deuxième lettre S, pour former des mots de 6 lettres. Combien y-a-t-il de mots diffèrents terminant par S ?
Merci par avance !
1. Combien de mots distincts peut-on obtenir ?
Toutes les permutations de 5 lettres.
Le mot obtenu est PARIS
Pa = 1 / 5!
Le mot commence par deux consonnes
Pb = permutations des 3 consonnes * permutations des 3 lettres à droite / 5!
Le mot contient les deux voyelles côte-à-côte
Pc = 4 positions parmi 5 * permutations des 2 voyelles * permutations des 3 consonnes / 5!
Le P est placé à gauche du S mais pas forcément côte-à-côte
Pd = 1/2 ... par symétrie (l'ordre entre P et S est équiprobable)
3. Sachant que la première lettre est le A, quelle est la probabilité que le mot finisse par S ?
P3 = permutations des 3 lettres PRI / permutations des 4 lettres PRIS
P3 = 1/4 ... plus simple : par symétrie (PRIS sont des terminaisons équiprobables)
4. Les évènements ”le mot commence par une voyelle” et ”le mot finit par un consonne” sont-ils indépendants ?Calculer les probabilités de chaque événement, puis celle de l'événement conjoint et vérifier si c'est le produit des deux probabilités...
5. On ajoute une deuxième lettre S, pour former des mots de 6 lettres.
Combien y-a-t-il de mots différents terminant par S ?
Puisque qu'on fixe un S en sixième lettre, il reste à permuter les 5 premières. Voir réponse 1.
:DBonjour flight,
Je voulais donner des indications sans donner toute la démarche ni les calculs...
... en espérant que ça encouragera Atalaia à chercher de son côté...
Merci beaucoup LeDino ! 
J'ai une question, dans cette question :
Le mot commence par deux consonnes
Pb = permutations des 3 consonnes * permutations des 3 lettres à droite / 5!
Ça ne serait pas plutôt une combinaison C3 2 ? Car Il y a 3 consonnes, mais par contre elles occupent seulement les 2 premières places ?
re.. le mot commence par deux consonnes :
les consonnes sont P R et S le voyelles A et I
si le mot commence par deux consonnes effectivement on en prend 2 parmi 3 donc C(3,2)
derrière tu a 3 lettres dont les permutations possibles sont au nombre de 3! =6 ,sans oublier aussi qu'on permuter les deux premières consonnes (2!)
soit donc en tout C(3,2).2!.3! = 3.2.6 = 36 issues favorables
P(E2b) = permutations des 3 consonnes * permutations des 3 lettres à droite / 5!
Ça ne serait pas plutôt une combinaison C3 2 ? Car Il y a 3 consonnes, mais par contre elles occupent seulement les 2 premières places ?
Ce qu'il faut, c'est que tu sois TOI convaincu(e) que tu as bien recensé tous les cas.
Ma façon de compter :
P(E2b) = permutations des 3 consonnes * permutations des 3 lettres à droite / 5! = 3! * 3! / 5! = 36/120 = 3/10
On liste toutes les permutations des 3 consonnes.
Les consonnes qui arrivent au rang 1 et 2 occupent les deux premières places du mot.
La troisième consonne peut alors être placée avec les deux voyelles, ce qui fait 3 lettres qu'on peut permuter.
Donc on a bien 3! * 3! = 36 cas distincts favorables à l'événement E2b.
Ça ne serait pas plutôt une combinaison C3 2 ?
Car Il y a 3 consonnes, mais par contre elles occupent seulement les 2 premières places ?
... mais alors il faut aller jusqu'au bout (voir les explications de flight).
Choix des 2 consonnes parmi 3 qui vont en première position : 3 parmi 2 = 3
Permutation de ces 2 consonnes : 2! = 2
Restent 3 lettres permutables (1 consonne et 2 voyelles) : 3! = 6
Le produit de ces différents cas donnant bien 36 aussi.
Merci beaucoup pour vos retours ! C'est très gentil. J'avance
Pour l'instant mes résultats sont :
1) 120
2) 36/120
3) 30/120
Est-ce que je suis sur la bonne voie jusque là ?
D'autre côté, je ne comprends pas trop bien ce que ça veut dire :
Pd = 1/2 ... par symétrie (l'ordre entre P et S est équiprobable)
Pourrez-vous me donner d'autres indices ? Merci par avance !
Bonjour,
Pour la question 4 j'ai que les deux évènements ne sont pas indépendents; est-ce que vous pourriez m'indiquer si mes calculs sont corrects svp ?
1 Calculer les probabilités de chaque événement:
”le mot commence par une voyelle” = C(1,2) choisir une voyelle sur 2 x permutation des 4 éléments restants / permutations de 5 = 48/120
”le mot finit par un consonne” = C(1,3) choisir une consonne sur 3 x x permutation des 4 éléments restants / permutations de 5 = 72/120
2 puis celle de l'événement conjoint et vérifier si c'est le produit des deux probabilités...
Probabilité de l'événement conjoint = C(1,2) choisir une voyelle sur 2 x permutation des 3 éléments x C(1,3) choisir une consonne sur 3 = 6/25
Donc le produit des deux événements seuls n'est pas égal au événement conjoint
Est-ce que j'ai bien fait ? Je ne suis pas sûre, donc si vous pouvez me le confirmer; je vous en remercie beaucoup
1) 120
2.a) 1/120
2.b) 36/120
2.c) 30/120
Mais c'est peut-être moi qui t'aie induit en erreur car mon explication était mal formulée.
Je reprends : Le mot contient les deux voyelles côte-à-côte
On choisit la position de la première voyelle : 1 parmi les 4 premières position (sur les 5).
La position de la seconde voyelle est alors fixée juste à sa droite : 1 seule possibilité.
On permute les 2 voyelles : 2! = 2 possibilités.
On permute les 3 consonnes sur les 3 places restantes : 3 ! = 6 possibilités.
P(E2c) = 4 * 2! * 6! / 5! = 48/120 = 2/5
P(E2d) = 1/2 ... par symétrie (l'ordre entre P et S est équiprobable)
Pourrez-vous me donner d'autres indices ?
E2d : "Le P est placé à gauche du S mais pas forcément côte-à-côte".
Cet événement signifie simplement que le P vient avant le S.
Comme P et S ne peuvent pas être à la même place, il y en a forcément un qui est devant l'autre.
Or tous les tirages sont équiprobables. Donc P et S ont l'un et l'autre autant de chances d'être devant, donc 1 chance sur 2.
A = ”le mot commence par une voyelle”
P(A) = choix d'1 voyelle parmi 2 * permutation des 4 lettres restantes / permutations de 5 = 48 / 120 = 2/5
B = ”le mot finit par un consonne”
P(B) = choix d'1 consonne parmi 3 * permutation des 4 lettres restantes / permutations de 5 = 72/120 = 3/5
Evénement conjoint : A et B : "le mot commence par une voyelle et finit par une consonne".
P(A et B) = choisir une voyelle sur 2 * permutation des 3 autres * choisir une consonne sur 3 = 6/25
P(A et B) = 1 voyelle parmi 2 * 1 consonne parmi 3 * permutation des 3 restantes / 5!
= 2 * 3 * 3! / 5! = 36 / 120 = 6/20
Donc le produit des deux événements seuls n'est pas égal à l'événement conjoint
Pour vérifier l'indépendance :
P(A) = 2/5
P(B) = 3/5
P(A) * P(B) = 6/25
P(A et B) = 6/20
Donc P(A et B) est différente de P(A)*P(B) : A et B ne sont pas indépendants.
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