Salut,

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un rapport avec la cuniculture ?

Bonjour,

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Une solution évidente (x=2,y=3)

4+6-9=1

Bonjour

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Une autre : x=3 et y=5

>>alb12

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Ou l'apiculture, oui

salut

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quatre solutions évidentes dans Z :

de plus (x, y)est solution <=> (-x, -y) est solution (dans Z toujours)

alb12 et Imod sont d'ores et déjà éliminés
Je m'adresse à dpi :

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Tu tiens un (plus ou moins) premier couple.
Intéresse toi aux "suivants"

Bonjour

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Bonjour,
J'ai regardé tous les blankés
@carpediem,
"couples (x,y) d'entiers naturels"

Sylvieg : oui je sais ...mais qui peut le plus peut le moins

bon en fait on reconnait une équation de Pell-Fermat (à changement de variable près) et on en a eu quelques unes ya quelques temps !! (ou quelque chose du même genre)

et alors il suffit d'un couple générateur et d'une relation de récurrence

avec l'aide de dpi et Imod on constate donc que

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si (x, y) est solution alors (y, x + y) aussi



bon en fait c'est ce que trouve aussi royannais

A tous :
J'ai "découvert" quasiment en même temps que vous (pour ceux qui ne connaissaient pas comme moi).
J'ai sur le bout de la langue un commentaire que n'aurait pas renié un certain Pierre Desproges

salut

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une esquise  de solution :  en posant  x=X   soit  
X² - X.y - (1+y²) = 0    ( j'ai fais exprès de poser x=X pour mettre x en évidence et faire apparaitre du second degré)   ce qui donne les solutions suivantes  

X' =  (y - (4+5y² ))/ 2
et
X" =  (y - (4+5y² ))/ 2

ensuite je m'arrange pour que  4+5y² = p²   ( un carré parfait )
ce qui me donne  y= +- ((9-45)ⁿ-(9+45)ⁿ)/5
on peut ensuite donner une mutltide de solutions en choissant  des valeur pour n dans N

petit complément

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pour X"  lire  :   X" =  ( y +  (4+5y²))/2

flight :        

Bonjour,

Sylvieg : oui

on peut remarquer que la transformation s : u = y et v = x + y est bijective d'inverse s^-1 : x = v - u et y = u

donc

et on a x <= u et y <= v

donc le principe de descente infinie est ... finie dans N et permet d'obtenir un couple générateur

Le problème était la non bijectivité avec .

Bonjour,
Comme lake me demandait de trouver d'autres solutions ,j'ai trouvé.
Soit la suite de Fibonacci .

x= Fn et y= Fn+1  sont solutions si n est impair *

exemple n=11----> (89;144) --->89²+(89x144)-144²=1

*si n est pair on garde la valeur absolue.
exemples n=14---> (377;610)--->|377²+(377x610)-610²|=1

Mais oui, bien sur

@lake,

Bonjour Sylvieg,

Pour le commentaire, je te renvoie à la conclusion systématique de "La minute nécessaire de Monsieur Cyclopède" :

Pour Lucas, il y a très peu de références mais il existe bel et bien un théorème de Lucas (1876) :
Voici un document où il est cité (voir page 28)

J'ajoute que dans le dernier document (page 28 29) la référence du n°28 (Avril mai juin 1997) de la revue Quadrature est donnée où une démonstration du Théorème de Lucas figure. Je n'ai pas ce numéro.
Mais j'ai sous la main un pdf d'un devoir de MPSI qui détaille cette démonstration.
Malheureusement, il est trop gros : je n'ai pas pu le poster

lake, bonjour

envoie le moi par mail, je devrais pouvoir ...

Merci malou !
J'agis immédiatement

Le voilà !


PDF - 1 Mo

Trop forte !

J'oubliais :
Bravo dpi; j'espère que tu as pris plaisir à "découvrir" !

Dernières (petites) nouvelles. Renseignements pris, il semblerait qu'il y ait deux Lucas :
Édouard Lucas 1842-1891 normalien et arithméticien connu.
Félix Lucas 1838-1914 ? polytechnicien beaucoup moins connu.
Et il semblerait que le nôtre soit le second (sans certitude absolue).
J'en profite pour poster un nouveau pdf sur la question :



PDF - 55 Ko

« Dernières » pas tout à fait.
Dès le départ je m'étais posé la question :
Tout de même, Édouard Lukas n'était pas le premier venu. Il suffit de se pencher sur sa production pour comprendre.
Comment a-t-on pu lui attribuer ce « théorème de Lukas » relativement « enfantin » ? (je ne souhaite pas choquer)
Son homonyme a remis l'église au milieu du village.

Mince ! Je suis allé chercher des k chez mon voisin.
Désolé

Bonjour,
Merci lake pour les documents

Bonjour,

En interprétant ceci :

En fait, c'est plutôt la réciproque qui est utile.
En envisageant les différents cas pour les signes de x et y.

Bonjour
Pour les entiers relatifs ,il suffit de changer le signe
des Fn et Fn+1
Exemple  n=10
(-55;-89)--->|3025+4895-7921|=1

Oui Sylvieg,
Je n'avais pas voulu poster :
Avec et entiers relatifs :

La seconde équivalence me semble étrange.

Voici ce à quoi je pensais :
Soit S l'ensemble déjà connu des solutions dans ² de |x² + xy - y²| = 1.

Avec x et y dans et |x² + xy - y²| = 1, on a 4 cas.

1er cas : x 0 et y 0.
(x;y) S

2nd cas: x 0 et y < 0.
(-y,x) S car |(-y)² + x(-y) - x²| = |x² + xy - y²| = 1.

3ème cas : x < 0 et y 0.
(y;-x) S car |y² + y(-x) - (-x)²| = |x² + xy - y²| = 1.

4ème cas : x < 0 et y <0.
(-x,-y) S.

« Étrange » c'est peu dire
Au vu de ton dernier message, je n'insiste pas ...