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Distance d'un point à une droite 1ERE S

Posté par
Woshiyibagui
01-11-11 à 18:54

Bonjour !

J'ai besoin de votre aide pour l'exercice suivant:

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(O ; 1) et M(x ; y). M est un point de la droite d d'équation y=x-4. L'objectif est d'étudier les variations de la distance AM lorsque M parcours la droite d, et en particulier de determiner la distance AM minimale.

1) a) Exprimer la distance AM en fonction des coordonnées x et y de M
J'ai du mal avec cette question, mais j'ai trouvé que AM=(x;y-1) mais je ne suis pas du tout sûre.

2) Démontrer que AM= 2x²-10x+25.
Là, je suis complètement perdue !

3) A chaque nombre réel x correspond a un unique point M de la droite d. L'objectif est donc maintenant d'étudier les variations de la fonction f --> 2x²-10x+25.

a) Justifer que f(x) existe quel que soit le nombre x. J'ai calculé et trouvé -100, donc le trinôme est du signe de a, soit 2, c'est à dire qu'il est positif et qu'il existe donc quelque soit x.

b) Etablir un table de variation de la fonction u definie par u(x)= 2x²-10x+25 : j'ai calculé =2.5 et = 12.5 J'ai trouvé que u était décroissante jusqu'à x=2.5 (où y=12.5) puis croissante.

c) Enoncer le théorème qui vous permet de déduire des variations de u celles de f: On sait que les fonctions u et u varient dans le même sens !

d) En déduire la valeur minimale de la distance AM : je n'ai aucune idée comment m'y prendre


Rq : Cette valeur est, par définition, la distance du point A à la droite d.

Note: Je n'ai pas encore vu les dérivées !

Merci d'avance, et bonne soirée sur l'île des maths

Posté par
cmath
re : Distance d'un point à une droite 1ERE S 01-11-11 à 19:09

Bonsoir,
1a est juste.
Sais-tu calculer le module d'un vecteur? ça t'aidera pour 1b en tenant compte que M appartient à la droite y=x-4 donc tu peux remplacer y-1 par (x-4)-1.

Posté par
Zedd
re : Distance d'un point à une droite 1ERE S 01-11-11 à 19:15

Pour tes deux premières questions, il faut utiliser la formule pour la distance entre deux points : AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}

Posté par
Woshiyibagui
re : Distance d'un point à une droite 1ERE S 01-11-11 à 19:24

Tout d'abord merci à cmath et Zedd pour leurs réponses !

cmath, je n'ai pas encore vu ce qu'est le module d'un vecteur, mais je pense avoir compris ce que tu veux dire pour les coordonnées de AM:
(x ; y-1) (x ; x-4-1) (x ; x-5) c'est ça ?

Posté par
cmath
re : Distance d'un point à une droite 1ERE S 01-11-11 à 19:40

Oui c'est ok.
le module d'un vecteur est la racine carrée du produit scalaire du vecteur par lui même.
si tu as par exemple =(x,y) alors llll=(x2+y2).
au final avec le vecteur AM de coordonnées (x,x-5) tu trouves comme module (x2+(x-5)2) et tu retombes sur le résultat que tu cherchais mais ça revient au même que la formule donnée par Zedd.



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