Niveau première

Divisibilité

Posté par
Ryan07896 22-06-17 à 19:12

Bonjour,
J'ai une difficulté sur un cas spécifique d'un exercice traitant de divisibilité, voici l'énoncé :

Soient $a$ , $b$ , $c$ des entiers. Montrer que si $n$ est un entier vérifiant $an^2 + bn + c = 0$ alors $n|c$ .

Voici ce que j'ai répondu pour l'instant :

Soit $P$ le polynôme du second degré défini par $P(x) = ax^2 + bx + c$
avec $a$ , $b$ , $c$ des entiers. On suppose que le déterminant de $P$ , noté $\Delta$ est positif. Autrement dit, $b^2 - 4 ac >= 0$ .
Deux cas sont possibles:
Premièrement, $b^2 - 4 ac > 0$ . Dans ce cas, $P$ admet deux racines distinctes notées $w_1, w_2$ et on a $w_1 * w_2 = \frac{c}{a}$ donc j'ai pu répondre en démontrant ça.
Deuxièmement, $b^2 - 4ac = 0$ . Ici, le polynôme $P$ admet une racine double $w_0$ , avec $w_0 = \frac{-b}{2a}$ , et on ne voit pas "directement" $c$ . J'ai une supposition, mais je ne sais pas du tout si elle est bonne...
$\Delta = 0 \Leftrightarrow b^2 = 4ac$
$b = 2 \sqrt{ac}$ ou $b = -2 \sqrt{ac}$ . On choisit la deuxième forme afin de chasser les signes négatifs.
$w_0 = - \frac{-2\sqrt{ac}}{2a} = \frac{2\sqrt{ac}}{2a} = \frac{\sqrt{ac}}{a}$
donc ${w_0}^2 = \frac{c}{a} \Leftrightarrow c = w_0 * w_0 * a$
Par définition, $m|n$ s'il existe un entier $k$ tel que $km = n$ . Donc ici $w_0 * (w_0*a) \Rightarrow n|c$
Cela a l'air de marcher, mais je ne suis pas du tout sûr de ma démarche, qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance !

Posté par re : Divisibilité 22-06-17 à 19:22

Hello,

Heu... sauf erreur n divise an² , n divise bn donc n divise c=-an²-bn non ?

Posté par re : Divisibilité 22-06-17 à 19:32

je me disais bien que c'était bizarre ce que je faisais...
merci, j'ai compris mon erreur ( du coup j'ai rédigé beaucoup pour rien )

Posté par re : Divisibilité 22-06-17 à 22:58

salut

$an^2 + bn + c = 0 \iff c = n(-an - b)$

....

Posté par re : Divisibilité 25-06-17 à 18:39

Bonjour,
Et c'est valable pour n'importe quel degré supérieur ou égal à 1 .
Avec P(x) = x Q(x) + c où tous les coefficients sont entiers.
Si un entier n vérifie P(n) = 0 alors c = - n Q(n) .
Donc n divise c .
Très pratique pour trouver des solutions "évidentes"

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