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Divisibilité dans N

Posté par
Ahmed16
03-03-13 à 20:18

Bonsoir,
Pouvez vous m'aider SVP pour résoudre mon exo ?
Déterminer les couples (a,b) tel que:
a + b = 651
et PPCM(a,b)/PGCD(a,b)=108
Je vous rappelle que je travaille dans N.

Merci.

Posté par
pgeod
re : Divisibilité dans N 03-03-13 à 20:54

soit d = PGCD(a; b)
a = a' d et b = b' d avec PGCD(a'; b') = 1
soit m = PPCM(a; b) = d a' b'

donc PPCM(a,b)/PGCD(a,b)=108
<=> m = 108 d
<=> d a' b' = 108 d
<=> a' b' = 108
............ or 108 = 1 * 2² * 33

Posté par
Cherchell
re : Divisibilité dans N 03-03-13 à 20:57

soit d = PGCD(a,b) alors a = d x et b = d y et x et y sont premiers entre eux.
PPCM(a,b) = d x y donc en remplaçant : d (x + y) = 651 et x y = 108.
651 = 3*7*31
donc d = 1 ou d = 3 ou d = 7 ou d = 21 ou d = 31 ou d = 93 ou d = 217 ou d = 651
tu examine chaque cas :
si d = 1 alors x + y = 651 et x y = 108 donc x et y sont solutions de l'équation X² - 651 X + 108 = 0
pas de solution entière

si d = 3 alors x + y = 217 et x y = 108 donc x et y sont solutions de l'équation X² - 217 X + 108 = 0
pas de solution entière

si d = 7 alors x + y = 93 et x y = 108 donc x et y sont solutions de l'équation X² - 93 X + 108 = 0
pas de solution entière

etc
d = 21, convient x = 4 et y = 27 ou x = 27 et y = 4
donc en reconstituant : a = 32*4 et b = 21*27 ou a = 21*27 et b = 21*4

d = 31 ne convient pas les solutions ne sont pas des nombres premiers entre eux
d = 93, ou 217 ou 651 ne conviennent pas, pas de solution entière

Posté par
Ahmed16
re : Divisibilité dans N 03-03-13 à 21:15

Conclusion: il y'a 2 solutions c-à-d deux couples. c'est ça?

Posté par
Cherchell
re : Divisibilité dans N 04-03-13 à 07:55

oui



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