Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Divisibilité de la somme d'une suite géométrique
Bonjour,
Soit n un entier naturel tel que n
2.
On pose:
.
a) Prouver que: .
b) Inversement, montrer que: .
c) En déduire les valeurs de n pour lesquelles: 7/an.
Bon, pour a) j'ai essayé de raisonner par récurrence car il me semblait que c'est utile dans l'étape d'hérédité, mais à la première étape (l'initialisation), pour n=2: a2=13 et 13 n'est pas divisible par 7. J'ai essayé également un raisonnement par contraposée mais ça s'embrouille!
Merci d'avance.
Une remarque: Chez nous: 7/an signifie 7 divise an.
Parce que j'ai remarqué que vous utilisez peut-être "| " non pas "/".
Bonsoir,
quelque chose ne va pas : 7 ne divise jamais 3n-1
Ou alors je suis très fatiguée .... ??
C'est ce que j'ai remarqué aussi. Mais j'ai recopié la consigne telle qu'elle est.
il est évident que c'est ... d'autant plus quand on sait ce qu'est a_n ...
et que 7 ne divisant pas 3 il ne risque pas de diviser l'une de ses puissances ... (même s'il faut faire attention avec cet argument : 12 ne divise pas 6 mais 12 divise 6^2 ...)
Sans aucun doute.
Bon, je ne peux pas nier que ce livre est plein d'erreurs, donc possible! Alors essayons de résoudre l'exercice en modifiant la consigne.
Pour c:
de a et b, on a :
Alors pour que: 7/an, il faut que: 7/3n-1
avec q
donc:
On détermine donc les valeurs de n pour lesquelles le reste de la division euclidienne de 3n par 7 est 1.
n, alors la division euclidienne de n par 6 est de:
n=6q'+r avec q' r{0;1;2;3;4;5}
(J'ai choisi la D.E par 6, car 36
1[7])
On étudie les 6 cas; le cas où est celui quand r=0, c-à-d: n=6q' avec q'
, d'où le résultat.
Tu aurais pu donner les restes successifs suivant les valeurs de n modulo 7, mais le résultat est bien celui-là, oui.
Alors,
Pour a: on sait que
comme ça?
1/ ne pas oublier que a_n est un entier (somme d'entiers)
2/ 7 divise a_n => 7 divise (3^n - 1)/2 qui est donc un entier
3/ or 7 et 2 sont premiers donc premiers entre eux
4/ donc 7 et 2 divisent 3^n - 1
5/ donc 7 divise 3^n - 1
Pour c:
de a et b, on a :
Alors pour que: 7/an, il faut que: 7/3n-1
donc:
On détermine donc les valeurs de n pour lesquelles le reste de la division euclidienne de 3n par 7 est 1.
n
, alors la division euclidienne de n par 6 est de:
n=6q'+r avec q'
r{0;1;2;3;4;5}
(J'ai choisi la D.E par 6, car 36
1[7])
On étudie les 6 cas; le cas où
, d'où le résultat.qaunt à la deuxième partie on évidemment 27 = 28 - 1 ... ce qui donne immédiatement le résultat ...
Annuler
connectez vous