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Niveau première
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Divisibilité en N ???

Posté par
Halloula1997
22-01-14 à 20:03

Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On pose A= 11a+2b et B= 18a+5b.
1) Démontrer que si l'un des deux nombres A et B est divisible par 19 alors l'autre l'est aussi.
2) Si a et b sont premiers entre eux, A et B ne peuvent avoir d'autres diviseurs communs que 1 et 19.


J'ai essayé avec mes amies de répondre au première question mais nous n'avons pas arrivé à le faire... S'il vous plait aidez nous à trouver la bonne méthode.

Posté par
flight
re : Divisibilité en N ??? 22-01-14 à 20:19

salut

si 19 divise B = 18a + 5b  alors il existe k tel que  18a+5b= 19.k

comme 18a+5b = (11a + 2b) + (7a+ 3b)= 19.k  alors forcement 11a + 2b est divisible par 19

Posté par
flight
re : Divisibilité en N ??? 22-01-14 à 20:22

si 19 divise 11a + 2b  alors il existe k' tel que 11a + 2b = 19.k'

et 11a + 2b = (18a + 5b) - (7a + 3b)= 19.k'  alors forcement 19 divise 18a + 5b

Posté par
Halloula1997
re : Divisibilité en N ??? 22-01-14 à 20:25

salut
Désolée mais je n'ai pas compris... quel théorème avez vous utilisé?

Posté par
flight
re : Divisibilité en N ??? 22-01-14 à 20:33

aucun theoreme j'ai juste fait quelques transformations d'ecriture

Posté par
flight
re : Divisibilité en N ??? 22-01-14 à 20:39

ah oui je vois ce que tu veux dire ..tout simplement si un entier divise une somme d'entiers , alors cet entier divise aussi chacun des termes de la somme .

Posté par
pif
re : Divisibilité en N ??? 22-01-14 à 20:39

il n'utilise aucun théorème il dit juste si A est divisible par 19 alors A=19k avec 19 un nombre entier ()
pour la suite moi j'aurais fait

A=19k=11a+2b
donc
2b=19k-11a
b=(19k-11a)/2

je remplace dans B
B=18a+(19k-11a)*5/2
et je déroule jusqu'à avoir un peu comme lui B=19k'

Posté par
Halloula1997
re : Divisibilité en N ??? 22-01-14 à 20:48

Mais ce que "flight" a dit est faux je crois en fait si d divise a et d divise b donc d divise a+b mais le sens contraire est faux si d divise a+b ne veut pas dire que d divise a et d divise b par exemple 4 divise 12=6+6 et 4 ne divise pas 6

Posté par
Halloula1997
re : Divisibilité en N ??? 22-01-14 à 20:52

Je parle de la divisibilité en N et non pas en Z car on va voir la divisibilité en Z l'année prochaine

Posté par
Halloula1997
re : Divisibilité en N ??? 22-01-14 à 20:55

Merci "M.pif", j'ai essayé votre méthode et ça a bien marché
Merci pour "M.flight" aussi

Posté par
carpediem
re : Divisibilité en N ??? 22-01-14 à 20:56

salut

si d divise a et a + b alors d divise b ....

Posté par
carpediem
re : Divisibilité en N ??? 22-01-14 à 20:57

généralisation ::

si d divise a et pa + qb avec p et q premiers avec d alors d divise b

....

Posté par
Halloula1997
re : Divisibilité en N ??? 22-01-14 à 21:03

oui merci beaucoup mais on n'a pas vu ceci en classe donc je ne peux pas l'utiliser mais je l'ai montré avec la méthode de "M.pif"

Posté par
Halloula1997
re : Divisibilité en N ??? 22-01-14 à 21:07

En tout cas merci

Posté par
pif
re : Divisibilité en N ??? 22-01-14 à 21:55



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