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DM Comportement asyptotique
Bonjour
Voila. Nous avons un devoir maison à faire pendant les vacances mais je ne comprends pas tout . Pourriez vous m'éclairer ? Merci d'avance
On définit la fonction f sur ]0;+∞[ par :
f(x)=x+3(sin4x)/x
1)Montrer que pour tout x>0, on a:
0≤ |f(x)-x|≤3/x
J'ai d'abord calculé f(x)-x = (x+3(sin4x)/x)-x = (3sin4x)/x
On sait que |f(x)-x| >0 comme x >0
Et il faut que |(3sin4x)/x|≤ 3/x
D'où |(3/x)sin4x| ≤3/x
D'où |sin4x|≤ 1
Or on sait que -1
Donc on a bien 0≤ |f(x)-x|<3/x[/color]
[color=indigo]2)Soit ε>0 . Justifier qu'il existe un réel A strictement positif tel que :
si x ∈[A ; +∞[ , alors 0≤|f(x)-x|≤ ε .
Donc là je bloque . Je ne comprends pas la question .
3) En déduire que lim |f(x)-x| = 0 . Conclure
x→+∞
Et comme je n'ai pas fait le 2) ... de plus je ne comprends pas les limites
Merci de me répondre au plus vite
Bonjour.
Ici, pour x > 0 :
Comme, pour tout t, |sin(t)| < 1, on a bien le résultat :
pour tout x > 0, 0 < |f(x) - x| <
Si x tend vers +
, soit 
> 0 donné.
Cherchons x tel que .
On trouve .
En posant A = , la question est réglée.
Cela signifie que :
Bonjour
Tu viens de montrer que
On se donne . Tu cherches A tel que pour
on ait
. Compte tenu de la question précédente, si
, c'est vrai que
. Il suffit donc de trouver A tel que
pour
. On n'a qu'à prendre
et tout marche...
3) En fait 2) est exactement la définition du fait que f(x)-x tend vers 0 pour x tendant vers +
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