Niveau première

dm d'option maths sur les matrices à rendre pour le 18/11

Posté par
benjamin18100 15-11-09 à 16:51

bonjour à tous je suis en première ES et je voudrais que quelqu'un m'aide pour faire l'exercice.si possible en me donnant les réponses tout en expliquant comment vous avez fait, de manière que je comprenne.

Ex:
Dans une île, les mouvements de population peuvent être modélisés ainsi : chaque année, 40% des habitants de la capitale quittent celle-ci tandis que 20% du reste de l'île viennent y habiter. On néglige les autres échanges.

1)on désigne par (c₀;b₀) la population initiale (début de l'étude de cette population ; c₀ pour la capitale). Ecrire la population (c₁;b₁) après un an.

2)on note E_i la matrice colonne $\left( \begin{array}{ccccc}\\ci\\bi\\\end{array}\right)$ donnant l'état de la population la ième année

justifier que E₁=A*E₀ pour une matrice A bien choisie
justifier que E₃=A³*E₀

3)étudier sur 4 ans, l'évolution de la population pour une population initiale c₀=12000 et b₀=5000
conjecturer alors la répartition de la population à long terme.

merci d'avance à ceux qui m'aiderons .

4)reprendre les questions du 3) avec c₀=12000 et b₀=24000

Posté par re : dm d'option maths sur les matrices à rendre pour le 18/11 16-11-09 à 07:11

bonjour,
il suffit de traduire le texte
$c_1=\frac{60}{100}c_0+\frac{20}{100}b_0$
$b_1=\frac{40}{100}c_0+\frac{80}{100}b_0$

si l'on note A la matrice
$\frac{60}{100}$ $\frac{20}{100}$
$\frac{40}{100}$ $\frac{80}{100}$

on a bien: $E_1=A*E_0$

Posté par re : dm d'option maths sur les matrices à rendre pour le 18/11 16-11-09 à 15:54

et pour la suite de la question 2 pour E3 faut faire quoi?

sinon la question 3 et 4 je n'y arrive pas non plus.

MERCI

Posté par re : dm d'option maths sur les matrices à rendre pour le 18/11 16-11-09 à 19:43

bonsoir,
durant la seconde année
$\frac{40}{100}de c_1$ quittent la capitale et $\frac{20}{100}de b_1$ y arrivent
on a donc
$c_2=\frac{60}{100}c_1+\frac{20}{100}b_1$
$b_2=\frac{40}{100}c_1+\frac{80}{100}b_1$
donc $E_2=AE_1=A(AE_0)=A^2E_0$
même methode pour $E_3=AE_2=...$
*dernière question
on donne $c_0=12000;b_0=2400$
pour calculer $E_3$ tu calcules $A^3$ et ensuite le produit $A^3E_0$

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