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DM de math

Posté par LIQUETTE (invité) 17-05-05 à 17:46

Bonjour! Je n'arrive pas à faire un de mes exercices de maths et j'aimerais savoir si quelqu'un pourrait me débloquer car je ne comprend rien! Merci d'avance pour votre aide...
L'exercice est le suivant:
On partage un cercle de rayon 1 en n parties égales et on dessine une rosace comme sur la figure ci-après. Soit l[/sub]n  la somme des périmètres des petits cercles tracés et soit s[sub]n la somme des aires des petits disques tracés.
On se demande si:
- l[/sub]n va tendre vers 0 car les cercles sont de plus en plus petits;
- l[sub]n va tendre vers + car il y a de plus en plus de cercles;
- l[/sub]n va tendre vers une valeur finie.
Trouver le bon résultat par le calcul et faire le même travail pour s[sub]n. (On admettra que pour x0, x-x[sup][/sup]3/6sin xx).


DM de math

Posté par
Nightmarere : DM de math 17-05-05 à 17:55

Bonjour

regardes ici


Jord

Posté par LIQUETTE (invité)re : DM de math 17-05-05 à 18:05

J'ai été regarder mais je n'ai trouvé aucun renseignement sur mon exercice. L'exercice qui est détaillé ce n'est pas celui pour lequel je demande de l'aide...

Posté par Imnothing (invité)re : DM de math 17-05-05 à 19:20

oui voila moi aussi maintenant je cherche les autres exos!

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 19:35

salut,

1. A-t-on avis combien y a-t-il de petits cercles?
2. rayon d'un cercle?

Posté par Imnothing (invité)re : DM de math 17-05-05 à 19:54

il y a 5 cercles de rayon 1/n??

Posté par LIQUETTE (invité)re : DM de math 17-05-05 à 19:58

d'après ce que la prof m'a dit chaque petit cercle a pour rayon       r(indice)n

Posté par Imnothing (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:03

c'est qui tu es de reims???

Posté par LIQUETTE (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:07

oui

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:08

il y a 5 cercles de dessinés, certes, mais si on les avait tous dessinés....sachant qu'on a découpé le grand cerle en n parties....
arrivéz-vous à voir ou est le centre de chaque petit cercle? en qq sorte, il faut d'abord comprendre comment ils sont construits avant de poursuoivre les calculs.

Posté par LIQUETTE (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:16

Chaque cercle à son centre qui est relié au rayon d'un autre.
Je pense qu'il y a , en tout, 23 petits cercles.

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:20

mais le résultat dépend forcément de n, non?

alors je te conseille, on va le faire pour n=6.

donc tu traces un cercle (de rayon 4 cm) et tu le divises en 6 parties égales (6 rayons).

ensuite on va essayer de contruire les cercles comme sur le schéma.

j et'attends (c'est ainsi que tu comprendras vraiment)

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:22

attendsn j'ai fait un cas particuliers!

prends plutot n=5

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:25

cad: angle au centre = 72°

puis te redivises en 2 chaque partie....tu vas donc obtenir 10 parties (n=10).

Posté par LIQUETTE (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:34

OK

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:38

peut-etre es-tu partie diner, alors je vais continuer.

1. fais la figure comme je te l'ai indiqué elle va bien t'aider à comprendre le raisonnement.

l'angle au centre est de 36° (360/10).
les petits cercles tracés.... sont centré en Ai et passent apr A(i-1)et A(i+1).
cad il y a un cercle de centre A1 (passant par A2 et A10); un cercle de centre A2 (passant par A1 et 13)....un cercle de centre A10 passant par A9 et A1.

DM de math

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:40

puis tu obtiens:

il y a donc 10 cercles (rappel n=10) de rayon A1A2 (ditance entre 2 points successifs du cercle).

DM de math

Posté par LIQUETTE (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:44

J'ai trouvé le même dessin. Jusque là je te suis...

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:46

Maintenant calculons le rayon d'un petit cercle (on va se placer dans le cas général où n = 10:
on se place dans le triangle OA1A2.
on sait que OA1=OA2 = 1 (rayon du cercle)
et \widehat{A1OA2}=\frac{2\pi}{n} .
on applique le théorème d'Al Kashi:
a²= b²c² - 2bccos(A)
soit:
A_1A_2^2 = 1^2+1^2 - 2cos(\frac{2\pi}{n})
A_1A_2^2 = 2(1-cos(\frac{2\pi}{n}))
or cos(2x)=cos²(x)-sin²(x) = 2cos²(x)-1
ainsi:
A_1A_2^2 = 2(1-2cos^2(\frac{\pi}{n})-1)=4cos^2(\frac{\pi}{n})

et alors:
A1A2 = 2cos(\frac{\pi}{n})

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:49

oups...je savais ai commis petite erreur (qd j'écris au clavier je les vois moins, c pour ca qu'il faut tjs que je me relise!)

c'est au moment de remplacer cos(2x) par 2cos²(x)-1
on obtient:
A_1A_2^2 = 2(1-cos^2(\frac{\pi}{n})+1)
A_1A_2^2 = 2(2-2cos^2(\frac{\pi}{n}))
A_1A_2^2 = 4(1-cos^2(\frac{\pi}{n}))
A_1A_2^2 = 4sin^2(\frac{\pi}{n})
et alors:
A_1A_2 = 2sin(\frac{\pi}{n}))

je savais bien que le sinus devaient apparaitre!

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:52

Maintenant on a tout!

*on sait qu'il y a n cercle de rayon A1A2.
* périmètre d'un petit cercle:
p = 4\pisin(\frac{\pi}{n})
donc l_n = np = 4nsin(\frac{\pi}{n})
* aire d'un petit cercle:
a = \pisin^2(\frac{\pi}{n})
s_n=na = n\pisin^2(\frac{\pi}{n})

et voilà; maintenant on a plus qu'à s'intéresser aux limites de ces deux suites.
Et pour cela il faut utiliser l'inégalité qui t'a été proposé.

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:53

oups...erreur latex, je réécris!
p = 4\pi sin(\frac{\pi}{n})

a = \pi sin^2(\frac{\pi}{n})
s_n = na = n\pi sin^2(\frac{\pi}{n})

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:54

Jusqu'ici ca va tu as compris le raisonnement?

Posté par LIQUETTE (invité)re : DM de math 17-05-05 à 20:59

Je crois! ça va, je comprend déjà mieux qu'avant...

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 21:03

on se sert de l'inégalité:
x-\frac{x^3}{6} \le sin(x) \le x pour x \ge 0
appliquons cette inégalité pour x = \frac{\pi}{n} >0 (n>0):
\frac{\pi}{n}-\frac{\pi^3}{6n^3} \le sin(\frac{\pi}{n}) \le \frac{\pi}{n}
on peut alors encadrer l_n:
4n(\frac{\pi}{n}-\frac{\pi^3}{6n^3}) \le 4nsin(\frac{\pi}{n}) \le 4n(\frac{\pi}{n})
4(\pi-\frac{\pi^3}{6n^2}) \le 4nsin(\frac{\pi}{n}) \le 4\pi

et là tu dois pouvoir conclure à la limite de l_n.

même chose pour les aires:
(\frac{\pi}{n}-\frac{\pi^3}{6n^3})^2 \le sin^2(\frac{\pi}{n}) \le (\frac{\pi}{n})^2
4n(\frac{\pi^2}{n^2}-\frac{\pi^4}{3n^4}+\frac{\pi^6}{36n^6}) \le 4nsin^2(\frac{\pi}{n}) \le 4n\frac{\pi^2}{n^2}

et là encore on peut ccl...

(ln tend vers une valeur finie et sn tend vers 0).

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 21:04

J'attends tes commentaires ou tes questions; je vais bientot partir)

Posté par LIQUETTE (invité)re : DM de math 17-05-05 à 21:05

Merci beaucoup pour ton aide parce que j'étais totalement perdue.

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 17-05-05 à 21:08

si tu as compris, je suis contente; je vais renvoyé Imnothing vers ce post.

Bonne soirée (c'est un exo de DM? ou c pr t'entrainer?)

Posté par LIQUETTE (invité)re : DM de math 17-05-05 à 21:09

un exercice de DM

Posté par Imnothing (invité)re : DM de math 18-05-05 à 14:28

ha oki merci bien moi aussi je comprends mieux!J'ai tt fait!
et l'exo ac la pyramide qui est a la suite de cet exo ds le site tu pourrais aussi me débloquer lol dis donc tu m'as bcp aidé c'est gentil!

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 18-05-05 à 18:50

je m'en occupe, mais il me semble que j'ai déjà renseigné qqn sur ce sujet.

tu vois qu'au premier étage il y a un cube.
Au deuxième étage...il y a une plaque carrée dont le côté a augmenté de 1 par rapport à l'étage précédent; il y a donc (1+2)² = 9 cubes (aires du carré)
et ainsi de suite...
à chaque étage , notons c_n le nombre de cubes sur le nème étage. c_n = (1+2(n-1))^2

pour la suite, vais regarderl'exercice pour les questions posées, je ne me rapl plus

Posté par dolphie (invité)re : DM de math 18-05-05 à 19:18

alors ensuite c tt bete:
p_n=\sum_{k=1}^nc_k
a)cad: p_n = 1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2
b)S_{2n-1}=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+...+(2n-1)^2
on peut donc écrire:
p_n = S_{2n-1}-(2^2+4^2+6^2+...+(2n-2)^2)
Or: 2^2+4^2+6^2+...+(2n-2)^2 = (2\times 1)^2+(2\times 2)^2+(2\times 3)^2+...+(2\times (n-1))^2
2^2+4^2+6^2+...+(2n-2)^2 = 4(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)=4S_{n-1}

Ainsi: p_n = S_{2n-1} - 4S_{n-1}

c) S_0=0
S_1=1S_2=5S_3=14

Soit P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
P(0)=0 entraine d=0
P(1)=1 entraine: a+b+c = 1
...
on obtient un système de 3 équations à 3 inconnues:
a+b+c = 1
8a+4b+2c = 5
2 7a+9b+3c = 14

je te laisse le résoudre et tu dois trouver: P(x) = \frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{2}+\frac{x}{6}

d) S_n = P(n) pour tout n,
donc S_{2n-1}=P(2n-1) et S_{n-1}=P(n-1)

ainsi:
p_n = P(2n-1) - 4P(n-1)
p_n = \frac{(2n-1)^3}{3}+\frac{(2n-1)^2}{2}+\frac{2n-1}{6} - \frac{4(n-1)^3}{3}-\frac{4(n-1)^2}{2}-\frac{4(n-1)}{6}
p_n = \frac{(2n-1)^3-4(n-1)^3}{3}+\frac{(2n-1)^2-4(n-1)^2}{2}+\frac{2n-1-4(n-1)}{6}

(2n-1)^3-4(n-1)^3 = 2n^3-6n+3 (sauf erreur de calcul)
(2n-1)^2-4(n-1)^2 = 4n-3
p_n = \frac{2n^3-6n+3}{3}+\frac{4n-3}{2}+\frac{-2n+3)}{6}
p_n = \frac{(4n^3-12n+6)+(-12n+9)+(-2n+3)}{6}
p_n = \frac{4n^3-26n+18}{6}

d) p6...aucun pb!


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