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EXO du site

Posté par Imnothing (invité) 11-05-05 à 16:00

On cherche à calculer l'aire A de la surface comprise entre la portion de parabole d'équation y = -x² + 1 et les axes du repère (voir figure).
Pour cela, on divise [0,1] en n parties égales et l'on remarque que A est comprise entre l'aire An de la région délimitée en noir et l'aire A'n de la région délimitée en couleur.
a) Calculer An et A'n en fonction de n.
(On admettra la formule : 1² + 2² + ... + n² =  ).
b) Calculer An et A'n pour n = 10, 10², 10³, 104, 105, 1010 à l'aide d'une calculatrice.
Quel résultat semble se dégager ?
c) Prouver ce résultat et en déduire la valeur de A

Bonjour alors voila j'aimerais bien savoir s'il y a les réponses de cet exo sur ce site!Et puis sinon savoir si quelqun pourrait un peu plus m'orienter m'aider pr cet exercice là
Merci d'avance

Posté par Imnothing (invité)re : EXO du site 11-05-05 à 16:11

Et puis cet exercice là aussi j'aimerais avoir de l'aide svp ce serait bien gentil


Une rosace
On partage un cercle de rayon 1 en n parties égales et on dessine une rosace comme sur la figure ci-après .
Soit l(indice)n la somme des périmètres des petits cercles tracés et soit s(indice)n la somme des aires des petits disques tracés.
On se demande si :
         l(indice)n va tendre vers 0 car les cercles sont de plus en plus petits ;
         l(indice)n va tendre vers + car il y a de plus en plus de cercles ;
         l(indice)n va tendre vers une valeur finie.
Trouver le bon résultat par le calcul et faire le même travail pour s(indice)n.
On admettra que pour x0 , x- (x[sup][/sup]3 /6)sin xx

EXO du site

Posté par Imnothing (invité)re : EXO du site 11-05-05 à 16:12

voila la courbe pr le premier exercice que je vous ais mis

EXO du site

Posté par Imnothing (invité)re : EXO du site 11-05-05 à 16:15

oui je suis casse pied mais en fait j'aurais besoin d'aide pour les exo 15  16 et 17.Ils font partis des exercices sur les suites et le 17 je ne l'ai pas coller j'ai coller que le 15 et le 16

voila voila excusez moi

Posté par Imnothing (invité)aide éclairage sur les suites 12-05-05 à 18:38

Bah alors il n'y a vraiment personnes qui puisse m'aider m'éclairer sur ces exercices pour que je les fasse avec plus de facilité???

Répondez moi s'il vous plait

Posté par dolphie (invité)re : EXO du site 12-05-05 à 19:08

salut,

il faut donc encadrer par des rectangles
An: n rectangles de largeur 1/n et de longueur f(1/n);f(2/n),...f(1).
Donc A_n = \frac{1}{n}\times(f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+...+f(\frac{n}{n}))
A_n = \frac{1}{n}\times(-(\frac{1}{n})^2+1-(\frac{2}{n})^2+1+...-1^2+1)
A_n = \frac{1}{n}\times(n-(\frac{1}{n})^2+(\frac{2}{n})^2+..+1^2))
A_n = \frac{1}{n}\times(n-(\frac{1^2+2^2+...+n^2}{n^2}))
A_n = \frac{1}{n}\times(n-(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^2}))
A_n = \frac{1}{n}\times(n-(\frac{(n+1)(2n+1)}{6n}))
A_n = 1-(\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}))

Posté par dolphie (invité)re : EXO du site 12-05-05 à 19:11

même raisonnement pour A'n: n rectangles de largeur 1 et de longueur f(0),f(1/n),...f((n-1)/n).

A'_n = \frac{1}{n}\times (n-\frac{1+2^2+3^2+...+(n-1)^2}{n^2))
A'_n = \frac{1}{n}\times (n-\frac{n(n-1)(2n-1)}{n^2))
A'_n = 1-\frac{(n-1)(2n-1)}{n^2))

Posté par dolphie (invité)re : EXO du site 12-05-05 à 19:12

euh il manque le 6 au dénominateur de A'n...
A'_n = 1 - \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}

Posté par dolphie (invité)re : EXO du site 12-05-05 à 19:16

2. je te laisse faire les calculs et la conjecture....
pour le démontrer:

cherchons la limite de An et celle de A'n quand n tend vers l'infini.
\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2} est une fraction rationnelle dont le coefficient du plus haut degré est \frac{1}{3}
donc \lim_{n \to +\infty}A_n=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}

de même:
\lim_{n \to +\infty}A'_n=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} (je te laisse détailler ce dernier calcul de limite).

pour tout n:
A_n < A < A'n An et A'n ont la même limite 2/3 quand n tend vers l'infini.
Par le théorème des gendarmes on en déduit que A=2/3

Posté par Imnothing (invité)re : EXO du site 15-05-05 à 10:50

Merci bien!Mais pourquoi il faut encadrer par des rectangles??ce qui est en couleur sur la courbe c'est ce qui est tout au dessus de la courbe!

Posté par Imnothing (invité)re : EXO du site 15-05-05 à 10:56

excuse moi mais c'est quoi ce théoreme des gendarmes??je ne l'ai pas vu en cours ou alors sous un autre nom.

Posté par dolphie (invité)re : EXO du site 15-05-05 à 11:54

oui il y a plein de noms: théorème du sanwich aussi, théorème de l'hopital?....

c'ets juste pour dire que si une suite est encadrée par deux suites tendant vers une même lilimite, alors cette suite tend également vers cette limite.

les rectangles...et bien termine les...tu as deux côtés de tracé...il faut tracer lesx côtés verticaux...

Posté par dolphie (invité)re : EXO du site 15-05-05 à 11:54

(ce qui est en pointillé sur le dessin!

Posté par Imnothing (invité)re : EXO du site 17-05-05 à 14:34

a oki merci j'ai compris mais je trouve pas 2/3 pour A mais je pense que c'est des erreurs de calculs dc je vais revoir!et pour les autres exercice aurait tu des aides comme celles ci pour m'éclairer d'avantage et me verifier en fonction de ce que tu donne??
merci d'avance et pour ce que tu m'a donné

Posté par dolphie (invité)re : EXO du site 17-05-05 à 21:10

ca y est l'exercice des cercles (cf post liquette est corrigé); viens voir par là... DM de math


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