Bonjour! J'ai vraiment bcp de difficulté avec mon DM de Maths (le dernier DM en fait, c'est peut-etre pour ca qu'il est si dur !!). Une grande aide serait la bienvenue !

Niels Fabian Helge von Koch (1870-1924), était un mathématicien suédois, qui a donné son nom à ce qu'on appelle aujourd'hui une fractale: le flocon de Koch. Une fractale est un terme utilisé en mathématiques pour désigner certains objets aux contours très irréguliers. Voici les étapes successives de la construction du flocon de Von Koch:

Etape 1: On part d'un triangle équilatéral

Etape 2: On divise chaque segment du triangle en 3 parties égales. Puis on fait apparaître 2 côtés d'un triangle équilatéral sur le "segment du milieu": On obtient alors un flocon simple (voir le 2eme flocon).

Etape 3: On recommence alors l'étape précédente pour chaque segment et on obtient (voir le 3eme flocon).

En réitérant l'opération un certain nombre de fois, on obtient ce type de figure: (voir le flocon rouge)

QUESTIONS:

1°) Quel est le nombre de segments lors de la 1ère étape? Même question pour les deuxième et troisième étapes.

2°) Pour tout n , on note S_n le nombre de segments lors de l'étape n. Ainsi, S₁ désigne le nombre de segments lors de l'étape 1, S₂ lors de l'étape 2 etc.

a) Exprimer S_n+1 en fonction de Sn, pour n , n1.

b) Quelle est la nature de la suite S?

c) Exprimer S_n en fonction de n pour tout n , n1.

d) Quel est le sens de variation de S?

e) Donner la valeur de S₁₀, le nombre de segments lors de l'étape 10.

3°) On pose AB=AC=BC=1. On peut comparer qu'à chaque étape, tous les segments ont la même longueur.

a) Lors de l'étape 2 combien mesure chaque segment?

b) Même question pour l'étape 3.

c) Si l'on reproduit une fois le processus à partir de l'étape 3, quelle va être la longueur de chaque segment?

4°) Pour tout n , n1, on note l_n la longueur de chaque segment lors de l'étape n. Ainsi, l₁=1. l₂ désigne la longueur de chaque segment lors de l'étape 2, l₃ lors de l'étape 3 etc.

a) Exprimer l_n+1 en fonction de ln, pour n , n1.

b) Quelle est la nature de la suite l?

c) Exprimer ln en fonction de n pour tout n , n1.

d) Quel est le sens de variation de l?

e) Donner la valeur de l₁₀, la longueur, la longueur de chaque segment lors de l'étape 10.

5°) Pour tout n , n1, on note Pn le périmètre du flocon lors de l'étape n.

a) Exprimer P_n en fonction de l_n et S_n.

b) En déduire l'expression de P_n en fonction de n pour tout n , n1.

c) Quelle est la nature de la suite P_n?

d) Quel est le sens de variation de P?

e) Donner la valeur de P₁₀ le périmètre du flocon lors de l'étape 10.

REPONSES:

1°) S₁=3
S₂=12
S₃=48

2°) a) S_n+1= axu_o
a=4 et u_o=3

b) La suite S est une suite géométrique

A partir de la je n'arrive pas à faire les autres pourriez vous m'aider svp?

Merci d'avance!