L'equation générale d'une parabole est y=ax²+bx+c
En point (x,y) le coeff directeur vaut 2ax+b
nous on veut un point ou ce coefficient valle 1 en x=0 (b=1)
mais plus que ca on veut qu'en ce point il y est tangence c'esta
dire
y=x=0

si on recapiule ca donne b=1
et en ce point y=x=0
soit
y=x=0=c donc c=0

donc
si une parabole s'ecrit:
y=ax²+x elle a un point de tangence avec la droite y=x en x=0


son sommet est trouvé pour y'=2ax+1=0
soit
x=-1/2a
et alors
y=a(-1/2a)²+(-1/2a)
y=1/4a-1/2a
y=-1/4a

on a donc y=x/2

qui prouve que les sommets sont sur la droite y=x/2
pour toutes les paraboles tagente en 0 à la prelmière bissectrice

calculs a verifier !
A+

merci beaucoup je vais faire de mon mieux avek ca c'est super
sympa!!

y = ax² + bx + c   (parabole)
y = x     (1ère bissectrice des axes)

x = ax² + bx + c
ax² + x(b-1) + c = 0

Point de rencontre entre les 2 est unique (puisque tangente). -> l'équation
ax² + x(b-1) + c = 0 a une racine double ->
-> le discriminant = 0.
(b-1)² = 4ac

y = ax² + bx + ((b-1)²/4a) sont les paraboles qui conviennent.

Le sommet de la parabole est pour x = -b/2a
donc pour y = a.(b²/4a²) - (b²/2a) + c
y = (b²/4a) - (b²/2a) + c
y = c - (b²/4a)
y = (4ac - b²)/(4a)

Sommet (-b/2a  ;  (4ac - b²)/(4a))
avec (b-1)² = 4ac imposé.

Equation du lieu des sommets:

x = -b/2a
y = (4ac - b²)/(4a)
avec (b-1)² = 4ac
-> 2a = (b-1)²/(2c)

x = -2bc/(b-1)²
y = ((b-1)²-b²)/[(b-1)²/c]

x = -2bc/(b-1)²    -> c/(b-1)² = -x/2b
y = (-2b+1)c/(b-1)²

y = -(-2b+1).x/2b
y = [(2b-1)/(2b)]x

Mais de là à dire que c'est une droite, alors que b peut prendre
n'importe quelle valeur (sauf 0).
Cela semble faux.
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Vois si cela t'aide.

Je n'avais pas vu que c'était en O que cela devait être
tangent, avec cette condition en plus, cela devrait aller.

Guillaume pourrais tu détailler ta méthode a partir de "son sommet
est trouvé pour..." merci

En tenant compte que la tangence est en O.

y = ax² + bx + c = 0
doit passer par O -> c = 0
y = ax² + bx

y ' = 2ax + b
y '(0) = b

tangente en O: y = bx

or cela devrait être  y = x -> impose b = 1.

y = ax² + x
y = x

doivent avoir 1 et 1 seul point commun.

-> ax² + x = x
ax² = 0 doit avoir une racine double.
ce qui est toujours vrai.

-> toutes les paraboles y = ax² + x conviennent.

-> l'abscisse du sommet = -b/2a = -1/(2a)
et son ordonnée = (a/(4a²)) - (1/(2a)) = (1/(4a))-(1/(2a)) = -(1/(4a))

Equation paramétrique du lieu:
x = -1/(2a)
y = -1/(4a)

En éliminant a ->

y = (1/2)x est l'équation du lieu.
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Cela rejoins la solution de Guillaume.