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DM derivation locale
Bonjour, je souhaiterais obtenir de l'aide pour la partie 2 du premier exercice de mon DM, j'ai trouvé la solution, mais de façon assez compliqué, et j'ai bien peur que, même si la réponse est bonne, la démarche ne le soit pas, car d'après l'énoncé, il faudrait s'aider du coefficient directeur.
L'énoncé:
Exercice 1 : On considère la fonction f définie par f(x)=3/x pour x ∈]0 ; + ∞[.
1. Soit a un réel strictement positif (a > 0).
a/ Démontrer que le taux de variation de f entre a et a + ℎ est égal à -3/a(a+h) .
b/ En déduire le nombre dérivé de f en a (en fonction de a).
2. On considère les points A(0;2) et B(9 ; −1). Montrer que la droite (AB) est tangente à la courbe représentative de f en un point à définir. (on s'intéressera au coefficient directeur ....)
J'en suis donc à la dernière question
Cette dernière phrase me posant problème car j'ai dû utiliser l'équation complète de la tangente.
J'ai donc déterminé l'équation de la tangente y, donnant -1/3x+2; puis j'ai résolu l'équation d'intersection de la courbe et de la droite (f(x)=1/3x+2), et j'ai (difficilement) trouvé le résultat, en passant par une équation produit nul ((1/(racine carré de 3)*x-(racine carré de 3))[sup][/sup]
j'ai donc trouvé à la fin une unique solution 3, étant juste.
Je souhaiterais donc savoir si une solution, plus simple, plus efficace était possible, comme insinue la dernière phrase entre parenthèses dans l'énoncé, avec le coefficient directeur.
Cordialement
Bonjour
(AB) a pour équation Rien ne prouve qu'elle soit tangente
Écrivez l'équation des points d'intersection de la courbe et de (AB)
et déterminez pour que l'équation admette une solution unique
Oui, je l'ai en effet fait, et affiché sur mon post principal, je souhaitait savoir si ma méthode était la bonne, et si il n'y en agit pas une plus simple, comme l'insinuait l'énoncé (cf phrase en rouge), comme dit précédemment, cela m'a donné, en passant par l'équation produit nul ((1/(racine carré de 3)*x-(racine carré de 3))²=0
Le résultat final étant 3
Il a dû y avoir des erreurs de calcul
en multipliant par 3x
on reconnaît une identité
donc
solution unique la droite est tangente
autre possibilité on sait que (AB) est tangente en à la courbe donc le nombre dérivé
D'après la question précédente on a donc d'où
D'accord, merci, je vois la complication que je m'étais donc faite, j'ai trouvé le même résultat mais en multipliant chaque côtés par x, n'y a-t-il donc pas d'autres solutions en utilisant uniquement (ou en grande parti) le coefficient directeur, je vous remercie déjà pour vos réponses rapides et instructives.
L'autre réponse utilise le coefficient directeur Cela devrait être celle préconisée.
On sait que le nombre dérivé d'une fonction en un point d'abscisse
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de
Vous avez d'une part calculé le nombre dérivé de la fonction au point d'abscisse
d'autre part le coefficient directeur de (AB) certes un peu plus qui ne sert pas
Il ne reste donc qu'à écrire l'égalité et à déterminer
Histoire d'être sûr de ce que j'ai compris, j'aimerais que vous me confirmiez si mon raisonnement est juste, et si il répond bien à la question, (en m'excusant du dérangement)
"Deux solutions possibles, soit déterminer le point par l'équation d'intersection (y=f(x)), soit, (technique plus astucieuse) sachant que (AB) est tangente en a à la courbe, le nombre dérivé étant f^' (a)=-1/3, on a (-3)/a²=-1/3.
Ainsi, (-3)/a²=-1/3↔ 3/a^2 =1/3↔ 3*3=1a^2↔9=a^2↔a=±3
a=3 (a>0)
S={3}
En effet, la droite (AB) est tangente à la courbe représentative de f en 3"
Non elle n'est pas astucieuse c'est ainsi que l'on vous a défini le nombre dérivé
c'est-à-dire comme le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse
On ne fait que reprendre cela C'est d'ailleurs la plus simple L'autre est assez pénible si la fonction est un peu biscornue
D'accord, le raisonnement et le résultat sont-ils quand à eux justes, et n'y a-t-il rien d'autre à ajouter ?
Non rien à ajouter
vous avez trouvé deux valeurs pour lesquelles le coefficient directeur était
et vous en avez éliminé une puisque dans le problème il était dit que
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